直線の方程式

質問

２直線y＝x、y＝３xのなす角を２等分する直線の方程式を求めよ

解答に「２等分線をｙ＝kxとすると、｜１－ｋ｜／√１＾２＋(－１)＝｜３・１－ｋ｜／√３＾２＋(－１)＾２となる。」
というヒントが書かれてあったのですが、このヒントの意味が分かりません。どなたか教えてください。又、もっと分かりやすい解法があれば、教えてください。お願いします。

ちなみに、答えはｙ＝(１±√５)ｘ／２です。

回答No.4

oshiete_goo

＃３ですが，（手間取っているうちに）別解その２は＃２さんのものとダブってしまいました．この部分は無視して下さい．

回答No.3

oshiete_goo

[別解その１]
２つの直線の方向ベクトル
→u＝(1,1)・・・長さ√2
→v＝(1,3)・・・長さ√10
を長さを揃えて，単位ベクトルにして足し引きすると，(以下矢印省略)
[なぜ２つあるかは図で説明してください．]

u／|u|±v／|v|＝(1/√10){√5(1,1)±(1,3)}//{√5(1,1)±(1,3)}＝(√5±1,√5±3)　[複号同順]　（これをベクトルmとおく）

よって，角の２等分線の方向ベクトルの１つとしてそれぞれ
→m＝(√5±1,√5±3)　[複号同順]
がとれて，求める直線y=kxの傾きkは
k＝(√5±3)／(√5±1)＝(√5＋3)(√5－1)／4，(√5－3)(√5＋1)／4
　＝(2－2√5)／4，(2＋2√5)／4
　＝(1－√5)／2，(1＋√5)／2

[別解その２]
傾き＝tanθ　により
tanα＝1，tanβ＝3
とすると，加法定理より
tan(α＋β)＝(tanα＋tanβ)／(１－tanαtanβ)＝4／(－2)＝－2・・・（１）
一方，求める直線の傾きk＝tan{(α＋β)/2}　として
２倍角の公式より
tan(α＋β)＝2k/(1-k^2)・・・（２）
（１）＝（２）より
2k/(1-k^2)＝-2
k=k^2-1
k^2-k-1=0
k=(1±√5)/2

回答No.2

stone_wash

なら、簡単な解法で。

まず、X軸とY=Xがなす角→ α
同様に、X軸とY=3Xがなす角→ β
とすると、
tan(α)=1
tan(β)=3
となる。

そして、X軸と”2直線Y＝X、Y＝3Xのなす角を2等分する直線の方程式”がなす角は、→ α+(β-α)/2=(α+β)/2 となる。

したがって、求めたい直線の方程式は、Y=tan(α/2+β/2)X となる。
ここからは、 tan(α/2+β/2) …(1) を求める問題へと切り替わる。

ここで、便宜上のため、 α+β=t …(2) とおくことにする。
すると、(1)式へ(2)式を代入すると、問題は、 tan(t/2) を求めることになった。

ここで、 tan(t)=tan(t/2+t/2) を用いて、加法定理を利用すると、 tan(t)=2tan(t/2)/(1-tan^2(t/2)) …(3) となる。

また、tan(t)のみ値が不明なので、上と同様に加法定理で求めると、 tan(t)=tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tan(α)tan(β)) より、 tan(t)=(1+3)/(1-1*3)=-2 …(4) となる。

よって、(3)式と(4)式より、 2tan(t/2)/(1-tan^2(t/2))=-2 となる
したがって、この二次方程式をとくと、 tan(t/2)=(1±√5)/2 となる。

よって、方程式は、Y=(1±√5)/2*Xとなる。

回答No.1

eatern27

ヒント
y=kxとすると、この直線は
(1、k)
を通ります。
y=kxはy=xとy=3xの2等分線だから
y=kx上にある任意の点はy=xとy=3xから等距離にあります。

ax+by+c=0と点(x_0,y_0)との距離は
|ax_0+by_0+c|/√(a^2+b^2)
であることを知っていれば、問題は解けたようなものです。

＞｜１－ｋ｜／√１＾２＋(－１)
｜１－ｋ｜／√{１＾２＋(－１)^2}ですね？
これは、x-y=0と、点(1、k)との距離
｜３・１－ｋ｜／√{３＾２＋(－１)＾２}
3x-y=0と、点(1、k)との距離です。
この２つが等しいから、
｜１－ｋ｜／√{１＾２＋(－１)^2}＝｜３・１－ｋ｜／√{３＾２＋(－１)＾２}
となります。