教えて下さい

質問

(1)　f(x)をx^2-4x+3で割ると-x+10余り、x^2-5x+6で割ると2x+1余る。
　　　f(x)を(x-1)(x-2)で割ったときのあまり。

(2)　x≧0、y≧0、2x+y=6のとき、xyの最大値、最小値、またx,yの値。

(3)　x,yを変数とする。x^2-2xy+5y^2+4y-3の最小値、x,yの値。

(4)　実数xに対し、不等式(k+1)x^2-2kx+(3k-1)>0が成り立つ定数kの値の範囲。

(5)　2x^2+x-3>0を満たすxの範囲。

(6)　x>0、ｙ>0のとき、(x+2/y)(3y+4/x)の最小値。

以上の6問を教えて下さい。
説明があると助かります。
お願いします。

回答No.1

wedsgemnd · ベストアンサー

高校生の方でしょうか?一応模範解答っぽい物を作ってみました。

(1)それぞれの商をQ1、Q2、Q3、そして求める余りをax+bとします。
この時f(x)は三次式だと考えられるので、(x-1)(x-2)で割った余りは一次式です。
f(x)=Q1（x^2-4x+3）+（-x+10）=Q1(x-3)(x-1)+(-x+10)・・・(1)
f(x)=Q2(x^2-5x+6)+(2x+1)=Q2(x-3)(x-2)+(2x+1)・・・(2)
f(x)=Q3(x-1)(x-2)+(ax+b)・・・(3)

ここで、余剰定理を使います。
(1)からf(1)=-1+10=9、(2)からf(2)=2*2+1=5　{※*は×と同じ意味です}
また、(3)よりf(1)=a+b、f(2)=2a+bとなります。
これらよりa,bについての連立方程式がたてられます。
a+b=9、2a+b=5。これを解くと、a=-4、b=13。よって答えは-4x+13となります。

(2)2x+y=6⇔y=-2x+6。これをxyに代入すると、x(-2x+6)=-2x^2+6xとなります。
そして、y≧0より-2x+6≧0⇔x≦3。これとx≧0よりxの範囲は0≦x≦3。

以上より問題を簡易化すると以下のような問題になります。
「0≦x≦3のときに、f(x)=-2x^2+6xの最大値、最小値とその時のxを求めよ。」
yの値はxの値が判れば、すぐに出ますよね。
関数f(x)を平方完成してやると、f(x)=-2(x^2-3x+9/4)+9/2=-2(x-3/2)^2+9/2。
よって、これはx=3/2の時に最大値9/2をとり、 x=3、0で最小値0をとります。
以上より答えは最大値はx=3/2、y=3の時のxy=9/2、最小値はx=3,0、y=0,6の時のxy=0です。

(3)この問題ですが、私が今パッと思いついたのは正攻法では無いかもしれません。ご了承ください。
与式=x^2-2xy+y^2+4y^2+4y-3=(x-y)^2+4y^2+4y-3です。
まず(x-y)^2≧0ですのでこの部分の最小値はx=yの時の(x-y)^2=0です。
一方4y^2+4y-3=4(y^2+y+1/4)-4=4(y+1/2)^2-4となるので、この部分の最小値は、
y=-1/2の時の-4と言うことが判ります。
(x-y)^2と4y^2+4y-3の両方が最小だったら当然その和も最小になります。
y=-1/2の時だと、x=-1/2で(x-y)^2=0となり(x-y)^2も最小となります。
以上より答えは、x=-1/2、y=-1/2のときの-4です。

(4)すいません、これは全ての実数でしょうか?ある実数でしょうか?そこが判らないと回答が作れません。やり方だけ説明しますと、k+1が負の場合と正の場合に場合分けしたあとに方程式 (k+1)x^2-2kx+(3k-1)=0の判別式を用いて回答作るのだと思われます。

(5)方程式2x^2+x-3=0の解から、関数f(x)=2x^2+x-3とx軸の接点を求めます。
これを実際にすると、接点はx=-3/2、1であるとわかります。
関数f(x)は下に凸の放物線なので、実際に図で書くと判ると思いますがx<-3/2、x>1でf(x)>0
となります。これが答えです。

(6)すいませんが、これは私にはわかりません。思いついたら補足させていただきます。

補足

(4)ですが、ある実数です。

申し訳ございません。
もし良ければ、(4)も解いていただけませんでしょうか。

(一応ですが、中学生です…)

回答No.2

wedsgemnd

中学生の方でしたか...　高校生のつもりで話していました。
(4)与えられた整式をf(x)とします。
この問題はようは放物線f(x)がx軸との位置関係の問題です。
しかし、(k+1)が負の場合と正の場合で放物線の形が大きく変わるので場合分けをします。

(1)k+1＜0⇔k<-1の時。
方程式(k+1)x^2-2kx+(3k-1)=0が実数解を持てばいいので、判別式Dを用います。
D/4=k^2-(k+1)(3k-1)=-2k^2-2k+1>0　⇔　(-1-√3)/2<k<(-1+√3)/2　です。
でも、k<-1なので解は(-1-√3)/2<k<-1となり、この場合に問題の条件を満たします。

(2)k+1>0⇔k>-1の時。
(1)と同様な作業です。D/4=k^2-(k+1)(3k-1)=-2k^2-2k+1>0　⇔　(-1-√3)/2<k<(-1+√3)/2　です。
これと条件を合わせて、1<k≦(-1+√3)/2。

(1)、(2)をあわせて(-1-√3)/2<k<1、1<k<(-1+√3)/2です。
すいません、場合分けする必要はありませんでした...

しかし、これは間違った答案なのをお気づきでしょうか?なぜならば、k=-1の場合はf(x)は一次式になるからです。
では、k=-1の時を考えましょう。
k=-1の時、f(-1)=2x-4。これはx>2で正となるのでk=-1でも問題の条件を満たすことが判りました。
よって最終的な答えは(-1-√3)/2≦k≦(-1+√3)/2 です。

中学生でこのレベルを解くなんてすごいですね。
ただ、インターネットなどの質問掲示板ではこういった数学の問題などはあまり質問されない方が良いです。
答案をつくるのも大変ですし、こういった問題は学校の先生などに聞くようにしてください。

お礼

ありがとうございます。
本当に助かりました。
春休みの宿題で出された問題で、
先生に聞けなかったので質問してみました。
教科書を探してみたのですが、
どうしても分からなかったので…。
本当にありがとうございました。