数列

質問

次の問題がわかりません。

|z|＜1のとき、1+z+z^2+z^3+...=1/(1-z)となる関係を用いて
　　　　　　1+1/2*cosθ+1/4*cos2θ+1/8cos3θ+...
の値をcosθを用いてあらわせという問題です。

cos2θや3θなどをcosθになおして上の関係を使おうとしたのですがうまくいきませんでした（cos2θを2cosθ^2-1などにして）

どなたかご教授ください。

回答No.3

paradigm5

z=(1/2){cosθ+i*sinθ}

|(1/2){cosθ+i*sinθ}|＜1

z^0=1
z^1=(1/2)^1・{cosθ+i・sinθ}
z^2=(1/2)^2・{cos2θ+i・sin2θ}
z^3=(1/2)^3・{cos3θ+i・sin3θ}
・・・

|z|＜1、

1+z+z^2+z^3+...
=1/(1-z)
=1/[1-(1/2){cosθ+i*sinθ}]
=2/[2-{cosθ+i*sinθ}]
=2/[(2-cosθ)-i*sinθ}]
=2[(2-cosθ)+i*sinθ}]/[(2-cosθ)-i*sinθ}][(2-cosθ)+i*sinθ}]
=2[(2-cosθ)+i*sinθ}]/[(2-cosθ)^2+(sinθ)^2]
=2[(2-cosθ)+i*sinθ}]/[5-4cosθ]

Re[1+z+z^2+z^3+...]
=1+(1/2)cosθ+(1/4)cos2θ+(1/8)cos3θ+...
=2(2-cosθ)/(5-4cosθ) 。

回答No.2

Ae610

|z|＜1のとき、1+z+z^2+z^3+...=1/(1-z)となる関係を使うと
1+(1/2)z+[(1/2)z]^2+[(1/2)z]^3+・・・=2/(2-z)・・・1式
今、Z=cosθ+isinθとすると(iは虚数単位でi^2=-1)ドモアブルの定理からZ^n=(cosθ+isinθ)^n=cos(nθ)+isin(nθ) ところで
1+(1/2)z+[(1/2)z]^2+[(1/2)z]^3+・・・
=1+1/2*cosθ+1/4*cos2θ+1/8cos3θ+・・・+i(1/2*sinθ+1/4*sin2θ+1/8*sin3θ+・・・)
・・・で問題は1+1/2*cosθ+1/4*cos2θ+1/8cos3θ+・・側を求めることになっているから1式の右辺のzにcosθ+isinθを代入して実部・虚部
を比較する。

回答No.1

take_5

ヒント。。。。笑

z＝r*（cosθ＋i*sinθ）（iは虚数単位）とした時、ド・モアブルの定理を使って計算すると、この問題はその実数部分に該当する。
虚数部分を調べる事によって、sinθについての同様な結果が得られる。

実際の計算は、自分でやってね。