数

質問

z={（√6+√2)/4}+{（√6ー√2)/4}i
のときz＾(2005)の値を求める問題で

(z＾2)=({（√6+√2)/4}+{（√6ー√2)/4}i)＾2
=1/2(√3+i)まで求めましたが

●1/2(√3+i)から
cos30度+isin30度になることが分かりません

●cos30度+isin30度からなぜ１になるのですか？

●z＾(2005)をまとめると(ｚ＾12)＾(167) *Zになりますが z＾(2005)=(ｚ＾12)＾(167) *Zと早く見つけるコツはありますか？

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

＞●1/2(√3+i)から
＞cos30度+isin30度になることが分かりません

計算違いでしょう。
(z＾2)＝(√3+i)／2＝cos(π/6)＋i*sin(π/6)です。
ド・モアブルの定理を使うだけです。

＞z＾(2005)=(ｚ＾12)＾(167) *Zと早く見つけるコツはありますか？

z＾2＝(√3+i)／2＝cos(π/6)＋i*sin(π/6)から、(z＾2)＾6＝cos(π)＋i*sin(π)＝-1です。
2005＝12×167＋1ですから、z＾(2005)=(ｚ＾12)＾(167) *Z＝-zです。

お礼

ありがとうございました

回答No.5

sanori

しまった！　最後の１行を間違えました。

まちがい
ｉは奇数ですから・・・・・！

訂正後
１６７は奇数ですから・・・・・！

回答No.4

sanori

●1/2(√3+i)からcos30度+isin30度になることが分かりません

1/2(√3+i)　＝　1/2*√3 ＋ 1/2*√3*i
ですよね？

点Ｐ（1/2*√3，1/2*√3）
つまり
ｘ座標が1/2*√3、ｙ座標が1/2*√3*i　の点ＰをＸＹグラフの上に打ってみましょう。
点Ｐから、Ｘ軸への垂線を垂らしましょう。
さらに、点Ｐから原点（０，０）へも直線で結びましょう。

すると、「正三角形の半分」が出来上がりませんか？

●cos30度+isin30度からなぜ１になるのですか？

上で引いた線分ＯＰの長さを、三平方の定理で求めましょう。１になるはず。

ついでに、「オイラーの公式」も覚えちゃいましょう。
ｅ^(iθ) ＝ cosθ ＋ isinθ

（私も回答しています）
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1969000

cosθ ＋ isinθ　の軌跡は、半径１の円です。
つまりｅ^(iθ) の絶対値は１。
｜ｅ^(iθ) ｜＝１

ただし、θの単位は、「度」ではなく「ラジアン」とすること。

●z＾(2005)をまとめると(ｚ＾12)＾(167) *Zになりますが z＾(2005)=(ｚ＾12)＾(167) *Zと早く見つけるコツはありますか？

なるほど。約分ですね。良い考えかも。

やってみましょうか。

上記までの結果から、ｚ＝ｅ^(i30π/180) ＝ｅ^(iπ/6)

したがって、

ｚ~2005 ＝ ｅ^(iπ/6)^2005
　＝ (ｅ^((iπ/6)^12)^(167)　←ここで約分が生きました！
　＝ (ｅ^(i2π))^(167)

ここで、
ｅ^(i２π) ＝ cos２π ＋ isin２π　＝　０＋ｉ　＝　ｉ

よって、
ｚ~2005　＝ (ｅ^(i2π))^(167)　＝　ｉ^167

ｉは奇数ですから・・・・・！

回答No.3

noname#38777

ＮＯ1です。

先ほど
（ｚ＾12）=
（cos30度+isin30度）^（12）=
(cos360度+isin360度)=1
と書きましたが、
（ｚ＾12）=
（cos30度+isin30度）^（6）=
(cos180度+isin180度)=-1
の間違いでした。

なので（ｚ＾12）=-1なので
答えも-ｚになります。
質問者さん、ＮＯ2さん、すいませんでした。

回答No.1

noname#38777

まず最初の「1/2(√3+i)から
cos30度+isin30度になることが分かりません」
ということですが、基本事項なので教科書を見ればわかります。
次はたぶんド・モルガンの定理から
（ｚ＾12）=
（cos30度+isin30度）^（12）=
(cos360度+isin360度)=1
ということだと思います。
最後の質問は、(ｚ＾12)＝１なので
2005を12で割ると167余り1となり、
z＾(2005)=(ｚ＾12)＾(167) *ｚ
=ｚとなり、ｚが答えだと思います。

間違ってたらすいません。