等比数列

質問

10進法で表された正の数Nがある。Nを５進法で表すと整数部分が２けたの循環小数xy.z(zの上にドット）となる。
また、N-1を７進法で表すと整数部分が２けたの循環小数zy.x(xの上にドット）となる
このとき整数x,y,zの値を全て求める問題で

N=xy.z(5)
=5x+y+(1/5)z+｛(1/5)＾2｝z+｛(1/5)＾3｝z+…
から
(1/5)z+｛(1/5)＾2｝z+｛(1/5)＾3｝z+…
の部分を等比数列で求めたいのですが
初項a=1/5 ,(r＾n)をどのように置くのか分かりません。

どうしたら
｛(1/5)z｝/1-(1/5)になるのでしょうか？

Nを消去して整理すると
58x-81z=12になるそうですがx,y,zはどのように求めるのですか？

回答No.4

noname#23393 · ベストアンサー

遅くなりましたがお答えしておきますね。

>○5進表記の制約上、x、y、zは 0以上 4以下の 整数 でなければなりませんについてよく分からないのですが
>これは５進の５を含まないようにする為に0以上４以下なのですか？

大筋でその通りです。
10進法ではひと桁に収まる数字は0から9の10個だけですよね?
例えば「10進法で、1の位だけで10という数字を表せ!」と言われたら、困り果てるしかないですよね。
それと同じように、5進法の世界で生活する人には、ひと桁に収まる数字は0から4までしかない、というわけです。
もし人間が5進法を日常的に使っていたら、5以上の数を1文字で表す必要はなくなるので、5から9までの数字はそもそも生まれていなかったでしょうし、逆に人間が12進法を自然に使っていたら10や11を表す1文字の数字が存在したことでしょうね。

>○xは先頭の数字ですから0であってはなりませんし、zも循環小数という条件から0であってはなりません。
>は定義ですか？

そうです。
まず先頭の数字について。
「3ケタの数を答えよ」と言われて、「37」と答えたら当然バツですよね。
もし「037」を3ケタと認めると、上記の事実との矛盾が生じます。
(そもそも少数以外の数字の先頭に0を書いてはいけない、と怒られるのかもしれませんが。そのあたりは詳しい人のフォロー求む。)
今回の問題では、設問中に明確に「整数部分が『2けた』」と書いてありますので、先頭は0であってはなりません。

次に循環部分の数字について。
仮にここに0を認めると、1.000…は循環小数となりますが、1はどう考えても循環小数なんかじゃないですよね。ということでここも0であってはなりません。

>○yの値が0以上4以下の整数になるが分からないので教えてください。

5以上であってはならないのは先に述べた5進法表記の制約で、この時点でyが 0以上 4以下で、かつ整数であることまで絞り込めます。

さて、ここから先が問題なんですが、今回の計算では「5進法表記から求めたN」の式と、「7進法表記から求めたN」の式の両者に、同じ係数のyが現れ、相殺されてしまいます。

これはつまり、「5進法表記から導き出されたNの値」と「7進法表記から導かれたNの値」を一致させるには、yの値は何であっても問題ない、という事実を表しています。つまり、この式だけではyに関しては何も言えない、ということです。

もし、問題文から書き下すことのできる条件式が他にあったとしたら、それらを用いてさらにyの値を絞り込むことができたかもしれませんが、残念ながらそのような式を見出すことはできませんでした。
(以前の回答で「だれか得意な人のフォロー求む」と書いたのは、ここで見落としがないかに自信がなかったからです。)
なので、ここでのyの値は、「0以上 4以下の 整数」と表現するしかないことになります。

と書きましたが、これってきっと冬休みの宿題ですよね…。
調子に乗って答案を丸々書いてしまったのもまずかったかな。
それにちょっと遅かったかも…。

きちんと理解して内容を身に付けてくださいね。^^)

お礼

永い間どうもありがとうございました

回答No.3

noname#23393

#1にタイプミスがありました。

>後者の両辺から前者の両辺を引いてやれば、
>9x = 1244.444… - 123.444…
>= 1121
>と循環部分が相殺され、
>x = 1121 / 9
>と求めることができます。

の部分は、

後者の両辺から前者の両辺を引いてやれば、
9x = 1234.444… - 123.444…
= 1111
と循環部分が相殺され、
x = 1111 / 9
と求めることができます。

の間違いです。

補足

とても丁寧な説明ありがとうございます。
お聞きしたい事があるのでもうしばらくのお付き合いしてください。
○5進表記の制約上、x、y、zは 0以上 4以下の 整数 でなければなりませんについてよく分からないのですが
これは５進の５を含まないようにする為に0以上４以下なのですか？

○xは先頭の数字ですから0であってはなりませんし、zも循環小数という条件から0であってはなりません。
は定義ですか？

○yの値が0以上4以下の整数になるが分からないので教えてください。

参考書の答えは
0≦x,y,z≦4で、ｘ、ｚ≠0より
(i)
z=2のときx=３,y=0,1,2,3,4
(ii)
z=4のときxは整数とならず不適

回答No.2

noname#23393

#1の続きです

以下では、xy.zというように各位の数を文字に置き換えて書く場合、積と読み間違ったりしそうなので、便宜上 [] でくくることにします。(これは私の思いつきで、正式な表記ではありませんので答案では使わないでください。)

まず、5進の式で、
N(5) = [xy.z…](5)
は、
5N(5) = [xyz.z…](5)
より、辺々引いて
4N(5) = [xyz](5) - [xy](5)
となります。この各項を10進で表すと、
4N = (25x + 5y + z) - (5x + y)
= 20x + 4y + z
N = (20x + 4y + z) / 4
となります。

7進の場合にも同様にして、
6(N - 1) = 42z + 6y + x
N = (42z + 6y + x) / 6 + 1
となるので、ここからNを消去すれば、ご質問の通りに
58x - 81z = 12
が得られます。

ここで、5進表記の制約上、x、y、zは 0以上 4以下の 整数 でなければなりません。さらに、xは先頭の数字ですから0であってはなりませんし、zも循環小数という条件から0であってはなりません。
よって、xとzは 1以上 4以下の 整数 でなければならないことになります。
xに1から4を代入して調べてみると、上記の条件を満たすのは x = 3のときに z = 2 という組しかないことがわかります。
よって x = 3、z = 2 となります。

残りはyなのですが、yに関してはこの設問だけでは一意には定まらないのではないかと思います。なので0以上4以下の整数としか言いようがないのではないかと…。(私が条件を見落としている可能性も大きいので、ここはあまり信用しないでください。だれか得意な人のフォロー求む)

回答No.1

noname#23393

面白い問題ですね。

さて、等比数列で求めたいとのことですが、今回の問題ではそれは得策ではありません。
循環小数を分数に直す場合、もとの数と桁をずらした数の差をとることで循環部分を相殺することができるからです。

例えば、10進で
x = 123.444…
と表される循環小数があった場合、これを両辺10倍すると
10x = 1234.444…
ですよね。
後者の両辺から前者の両辺を引いてやれば、
9x = 1244.444… - 123.444…
= 1121
と循環部分が相殺され、
x = 1121 / 9
と求めることができます。

今回の問題の場合では、Nが5進と7進で表されているので、
5進表示の式を両辺5倍して差をとる
7進表示の式を両辺7倍して差をとる
とすることで、それぞれを分数で表すことができます。