シムソンの定理の証明
シムソンの定理の証明
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http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/ptolemaios/simson.htm
の作成者に質問したかったのですが適当な所がみつからなかったのでここで質問します。
シムソンの定理
△ABCの外接円周上の点Pから
BC、CA、AB に下ろした垂線の足を D、E、F とする。
このとき、3点 D、E、F は1直線上にある。
この直線のことを、シムソン線という。
(証明)4点 P、F、A、E は、同一円周上にあるので、∠PFE＝∠PAE
…
と左図と一緒に書かれていましたが、
左図では確かに ∠PFE＝∠PAE ですが
右図では4点 P、F、A、が 、同一円周上にあるにもかかわらず
∠PFE≠∠PAE
となってしまい、この証明は誤りなのではないでしょうか?
シムソンの定理は、
「A,B,C,P,が同一円周上の点で D,E,F が P から BC,CA,AB への垂点」
という条件で P,A,B,C の位置に関係なく成立することを
証明しなければ、証明とはいえないのではないでしょうか?
以下の証明の方がよいのではないでしょうか?
△ABCの外接円周上の点Pから
BC、CA、AB に下ろした垂線の足を D、E、F とする。
外接円の中心に 0 を対応させ 点 P に 1 を対応させて
外接円を単位円とする座標をいれて
点 A,B,C,D,E,F のそれぞれの位置の複素数を
a,b,c,d,e,f とすると
|a|=|b|=|c|=1 となるから
2d=b+c-bc+1
2e=c+a-ca+1
2f=a+b-ab+1
x~=(xの共役複素数) とすると
4((e-d)(f~-d~)-(e~-d~)(f-d))
=((a~b-ab~)(|c|^2-1)+(b~c-bc~)(|a|^2-1)+(ac~-ca~)(|b|^2-1)
+a(|c|^2-|b|^2)+b(|a|^2-|c|^2)+c(|b|^2-|a|^2)
+a~(|b|^2-|c|^2)+b~(|c|^2-|a|^2)+c~(|a|^2-|b|^2))
|a|=|b|=|c|=1 だから
(e-d)(f~-d~)-(e~-d~)(f-d)=0
e-d と f-d の向きが等しいから
3点D,E,Fは1つの直線上にある
