３点が一直線上である証明

質問

こんにちは。△ＡＢＣにおいて辺ＡＢを１：２に内分する点をＰ，辺ＢＣを４：１に外分する点をＱ，辺ＣＡを１：２に内分する点をＲとすると，３点Ｐ，Ｑ，Ｒは同一直線上にあることを示しなさい。
位置ベクトルを使って解いてみました。
この問題は、メネラウスの定理が成り立つので３点P,Q,Rは同一直線上にあると言っていいでしょうか。
　4/1×1/2×1/2＝１が成り立つので，メネラウスの定理より３点P,Q,Rは同一直線上にある。
ということです。

回答No.3

keiryu · ベストアンサー

どこまでを既知とするかでしょう。出題者の意図が、どこにあるかによると思われます。
ところで、貴兄はメラネウスの定理（正しくは、メラネウスの定理の逆）を証明できますか？これが分からなければ、どこまで理解できているかちょっと心配ですが。

ヒポクラテスの三日月は、三平方の定理を使えば即座に解決されますが、これを小学生に与えたとき、彼が三平方の定理を使って解決したとしても、知識として（定理の暗記）それを使ったのであれば、確かに定理の活用と言う点では素晴らしいが、私は、どこか違和感を感じます。彼が、三平方の定理を自分で説明できるのであれば、言うことなしですが。

お礼

詳しくありがとうございます。

回答No.5

Tacosan

「目狙う素の定理」ってなんだよ＞俺

もちろん「メネラウスの定理」です.

回答No.4

Tacosan

「あなたのいう「メネラウスの定理」とは, どのような定理ですか?」→「ありがとうございます。」って, 何を言いたいんですか? 「ありがとうございます。」が, あなたのいう「目狙う素の定理」なんですか?

普通「メネラウスの定理」というと「一直線上にある 3点に対し比の積が 1 になる」というものです. そして, あなたのいう「メネラウスの定理」とやらがこれを指しているのだとしたら, 「メネラウスの定理より３点P,Q,Rは同一直線上にある。」は問答無用でアウトです. まして「メネラウスの定理が成り立つので３点P,Q,Rは同一直線上にある」は問題外.

だから
あなたのいう「メネラウスの定理」とは, どのような定理ですか?
って聞いたんだけどなぁ....

補足

メネラウスの定理の逆より
　とすればいいのでしょうか。
　回答の返事を補足に入力していいのかどうかわかりませんでした。

回答No.2

chie65536（@chie65535）

＞4/1×1/2×1/2＝１が成り立つので，メネラウスの定理より３点P,Q,Rは同一直線上にある。

↓コレね。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A1%E3%83%8D%E3%83%A9%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

「メネラウスの定理により同一直線上にある」って言って良いんじゃないでしょうか。

お礼

ありがとうございます。URLまで。

回答No.1

Tacosan

確認です:
あなたのいう「メネラウスの定理」とは, どのような定理ですか?

お礼

ありがとうございます。