３つの外心や垂心に関する問題

質問

△ABCの垂心をHとし、辺BCの中点をM、線分AHの中点をNとする。線分MNの長さは
△ABCの外接円の半径に等しいことを、証明せよ。

図がうまく書くことができず、どう解いていったらいいのか分かりません。

△ABCの内心をIとし、直線AIと辺BCの交点をDとする。AB=8、BC=7、AC=4であるとき
AI:IDを求めよ。

二等分線を利用するそうですが、その定理がいまいち分かりません。

△ABCの内心をIとするとき、∠BIC=90°+(1/2)∠Aであることを証明せよ。

教科書の解説の一行目に
直線AIと辺BCの交点をDとすると
∠ＢＩＤ＝∠ＢＡＩ＋∠ＡＢＩ
となっていました。
どうして∠ＢＡＩ＋∠ＡＢＩをしたら∠ＢＩＤになるんでしょうか？
問題の解き方も分からず、悩んでいます

△ABCにおいて、辺BC,CA,ABに関して、内心Iと対称な点をそれぞれ、
P,Q,Rとするとき、Iは△PQRについてどのような点か。

証明問題が苦手です。
分かりやすく教えてもらいたいです

おねがいします。

回答No.1

rikarin-h · ベストアンサー

まず、私的に簡単だと思われるものから。

＞△ABCの内心をIとし、直線AIと辺BCの交点をDとする。AB=8、BC=7、AC=4であるとき
AI:IDを求めよ。

内心ということは、三角形に円が内接しているということ。各角の二等分線が交わる点が内心と定義されています。ちなみに二等分線とは、読んで字の如く、角を二等分する線のことです。角がその線によって半分になってしまうわけですね。

で、話を元に戻しますが、三角形の角を二等分すると、おもしろい定理が使えるんです。

例) △ＡＢＣにおいて、∠Ａの二等分線とＢＣの交点をＤとする。そのとき、

　　ＡＢ ： ＡＣ ＝ ＢＤ ： ＤＣ

が成り立つ。

この定理を使うと、ＡＢ＝８、ＡＣ＝４ですね。
ここで、ＡＢ：ＡＣ＝２：１となりますので、点Ｄの位置はＢＣ＝７において２：１になるような位置になります。ＢＤ＝７×2/3

そしたら今度は△ＢＤＡに足しても同じように考えれば良いです。
ＡＩ：ＩＤ＝８：14/3
＝１２：７

＞△ABCの内心をIとするとき、∠BIC=90°+(1/2)∠Aであることを証明せよ。

これも実は単なる三角形の性質に過ぎません。△ＡＢＣについて、点Ｂから点Ａを延長して線分を描きましょう。これが点Ｄとします。

三角形の３角の合計は１８０度です。また、直線もしかり。三角形内の∠ＢＡＣ＝１８０度－(∠Ｂ＋∠Ｃ)です。
また、
∠ＤＡＣ＝１８０度－∠ＢＡＣ

代入法で解いてみてください、と言っても図を描けば分かりますよね。
∠ＤＡＣ＝∠Ｂ＋∠Ｃ

これを用いて解けば良いです。求める角を２つに分けて考えて最後に足す、と言う方法です。

∠ＢＩＤ＝∠ＢＡＩ＋∠ＡＢＩ
∠ＣＩＤ＝∠ＣＡＩ＋∠ＡＣＩ

これを解く前に、全て何処の点の角の半分の角なのかを書いておいたほうが良いでしょう。

∠ＢＩＣ＝∠ＢＩＤ＋∠ＣＩＤ
　　　　＝(1/2)∠Ｂ＋(1/2)∠Ａ＋(1/2)∠Ａ＋(1/2)∠Ｃ
　　　　＝(1/2)∠Ａ＋(1/2)（∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ）
　　　　＝(1/2)∠Ａ＋(1/2)×１８０度
　　　　＝(1/2)∠Ａ＋９０度

これでお分かりいただけたでしょうか？

回答No.3

tecchan22

最初の問題だけ、とても難しい問題です。
９点円に関連する問題ですね。

色んな解き方があるが、有名な解法のヒントは、外接円の中心をＯとして、ＡＨ＝２ＯＭ・・・★を示すことです。

そうすれば、四角形ＡＯＭＮが平行四辺形より、ＭＮ＝ＯＡ＝（外接円の半径）が出ます。

さて、★を示す為に、ＡＢの中点ＫとＢＨの中点Ｌを取ります。
二組の対辺が平行であることから、四角形ＫＬＭＯが平行四辺形であることが言えます。
ポイントは、中点連結定理です。

※もっと易しい解き方があったらごめんなさいね。

参考URL：

http://homepage2.nifty.com/sintakenoko/Cabri/C9ten-en.gif

回答No.2

rikarin-h

もう１つ。

＞△ABCにおいて、辺BC,CA,ABに関して、内心Iと対称な点をそれぞれ、
P,Q,Rとするとき、Iは△PQRについてどのような点か。

内接円ですから、各辺に対して対称な点をとるということは、各辺に対して垂線を引くことになります。内接円から辺に対して垂線を引くと、それは内接円の半径になりますから、“全ての点はその２倍の長さ”の位置にあることになります。よって、内接円の半径をｒ、Ｉから３つの点Ｐ，Ｑ，Ｒが同じ距離＝円が描けるとなりますので、その半径をＲとすると、

　Ｒ＝２ｒ

である、△ＰＱＲに外接する円の外心と答えが導けるはずです。