チェバの定理の逆

質問

定理の仮定の利用方法がわかりません。

△ABCの辺BC,CA,AB上にそれぞれ点P,Q,Rがあり、
(BP/PC)・(CQ/QA)・(AR/RB)＝1が成り立てば、3直線AP,BQ,CRは一点で交わる。

上記の証明
BQ,CRの交点をSとしASとBCの交点をP'として、P'とPと一致することをしるす。
チェバの定理により　(BP'/P'C)・(CQ/QA)・(AR/RB)＝1 これと定理の仮定より
(BP'/P'C)=(BP/PC)ゆえに、P'はPに一致し、3直線AP,BQ,CRは一点で交わる。

と教科書に書いてあるのですが、定理の仮定は、(BP/PC)・(CQ/QA)・(AR/RB)＝1
だと推測しました。しかし～成り立てば、と書いてある条件を、成り立つとして証明に使っていいのか疑問です。定理の仮定を使っていい理由を説明してください。お願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

定理を言い換えてみましょう。
△ABCの辺BC,CA,AB上にそれぞれ点P,Q,Rがあり、
(BP/PC)・(CQ/QA)・(AR/RB)＝1が成り立つときには、
3直線AP,BQ,CRは一点で交わる。

これなら納得できますか？定理は仮定が成り立つかどうかわからないときではなくて，絶対的に仮定が成り立つときの話をしているのです。定理を証明するときには，仮定していることは成立すると思ってよいのです。

お礼

仮定についての説明、ありがとうございます。