負の二項分布について

質問

負の二項分布の平均　分散はそれぞれ
rq/p rq/p^2 となりますが（q=1-p r回成功するまで）
それの証明方法について質問です

幾何分布の初めて成功するときの平均と分散がそれぞれ
q/p q/p^2
それをr回繰り返すということで
負の二項分布はr倍してあると思うのですが
幾何分布のr倍だから　ということで証明することはいいのでしょうか

この方法が駄目でしたらちゃんとした証明を教えていただきたいのですが

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

＞幾何分布のr倍だから　ということで証明することはいいのでしょうか
いいかどうかは微妙なところです。

負の二項分布は、「ｒ回成功するまでに失敗する回数」なわけですが、

ｒ回成功するまでに失敗する回数 ＝ １回成功成功するまでに失敗する回数 ＋ １回目に成功してから２回目に成功するまでに失敗する回数 ＋ ２回目に成功してから３回目に成功するまでに失敗する回数 ＋ … ＋ (r-1)回目に成功してからｒ回目に成功するまでに失敗する回数

と書けます。ここまでは全く問題ないです。
問題は、
・１回成功成功するまでに失敗する回数
・１回目に成功してから２回目に成功するまでに失敗する回数
・ …
・(r-1)回目に成功してからｒ回目に成功するまでに失敗する回数
が独立に同じ分布に従う（i.i.d.）
という仮定が自明だと思うかということです。

これを自明だと認めるら、幾何分布のr倍 という証明でＯＫです。高校の確率統計での２項分布の平均・分散の導出なんかは、まさにこの考えでやってますね。

一方で、これは自明なことではないという人もいると思います。そういう人は、「幾何分布のr倍だから」という証明は受け入れられませんから、真面目に確率密度を出して計算する必要があります。
（真面目に計算した結果、結局、上の仮定が正しいということがわかるわけですが。）