二項分布とポアソン分布、それぞれで求まる確率が２倍も異なるのですが

質問

こちらに計算ミスがあれば、誠に申し訳ありません。
　二項分布とポアソン分布、それぞれで求まる確率が２倍も異なるので、困っています。

　次のような問いがあるのです。

「くじが当たる確率は１％であり、５回くじを引くとする。当たりが３回出る確率を、ポアソン分布を用いて近似的に計算せよ。」

　二項分布でも解けなくはない問いです。
　５Ｃ３×１％×１％×１％×９９％×９９％＝０．０００００９８０１

　ところがこれを、ポアソン分布を用いて計算せよとのことですので、
　ポアソン分布の確率関数ｐ（ｘ）は、λ（ラムダ）を用いれば、
　自然対数の底ｅのマイナスλ乗と、λのｘ乗との積を、ｘの階乗で除した式で表されますので、
　（あえて関数式を書けば　ｐ（ｘ）＝(λ^ｘ)＊exp(-λ)÷ｘ！　）
　λ＝０．０５を代入し、ｐ（３）を求めればよいわけですから、
　ｐ（３）＝　０．０５＾３　×　exp(－０．０５)　÷　３！
　　　≒　０．０００１２５　×　０．９５１２　×　６
　　　≒　０．００００１９８
　と求まります。

　これでは、ポアソン分布を用いて近似的に計算せよと言いながら、求まる確率が２倍も違う点で、とても近似的に計算しているとは思えません。
　ポアソン分布の関数式を覚えていないもしくは度忘れした解答者がとりあえず二項分布で解いてみても採点者は一発で間違いと分かるように数値を設定したと考えることもできますが、ポアソン分布の精度が疑わしくなります。

　あるいは、こちらの計算ミスがあれば、気づかずにいるミスを直ちに改めたいと思いますので、どなたかお答えを願います。

回答No.3

age_momo · ベストアンサー

近似なんですから有効桁数は意識されるべきかと。。。

それぞれの当たり回数に対する確率計算結果を
少数第3位までで丸めて比較すると

回数　二項　ポアソン
0回　　　95.1%　95.1%
1回　　　4.8%　　4.8％
2回　　　0.1%　　0.1％
3回　　　0%　　　0%

十分、近似できていると思いますよ。要はどちらもほぼ0なんです。

お礼

有効桁数という概念を、これを機に理解させていただきたく思います。ありがとうございました。

回答No.2

gef00675

計算はまちがっていません。
ポワソン分布は２項分布の極限であるにもかかわらず、ｎがたった５回でも確率が２倍程度しか違わないことのほうが、私にすれば驚きです。けっこうよくあってると思うけどなあ。その秘密はｐ＝0.01と小さいことにあると思います。。。

お礼

私の計算が間違ってないと保証していただきまして、ありがとうございました。また、
「ｎがたった５回でも確率が２倍程度しか違わないことのほうが、私にすれば驚き」
というご感想は大いに参考にさせていただきたく思います。

回答No.1

Tacosan

ポアソン分布は, 二項分布において np を固定したまま n を∞に飛ばしたときに得られたと思います. つまり, ポアソン分布で二項分布を近似するには「n が大きい」ということが必要なのではないでしょうか.