幾何分布の平均の証明がわかりません。

質問

幾何分布の平均の証明がわかりません。
誰か教えて下さい。

回答No.1

aquatarku5 · ベストアンサー

確率変数Xが幾何分布に従うとき、値kをとる
確率は以下で表される（但し0<=p<=1)
P(X=k)=p(1-p)^(k-1)　(k=1,2,3,・・・）
これの期待値が1/pであることを証明する、
というご質問でよろしいですか？

とすると、
期待値=Σ_{k=1}^∞ {kp(1-p)^(k-1)}
=pΣ_{k=1}^∞ {k(1-p)^(k-1)}
=p・lim{n→∞}{Σ_{k=1}^n d/dp[-(1-p)^k]}
=p・lim{n→∞}{-d/dp[Σ_{k=1}^n (1-p)^k]}　・・・Σのところは等比数列の和
=p・lim{n→∞}{-d/dp[(1-(1-p)^n)/(1-(1-p))・(1-p)]}
=-p・lim{n→∞}{d/dp[{(1-p)-(1-p)^(n+1)}/p]
=-p・lim{n→∞}{[-1+(n+1)(1-p)^n]/p - [(1-p)-(1-p)^(n+1)]/p^2}

※ここで、n→∞のとき、
0<p<1の場合は、(n+1)(1-p)^n→0、(1-p)^(n+1)→0
　∴与式=-p・{-1/p-(1-p)/p^2}=1+(1-p)/p=1/p

p=1の場合は、元の分布の定義に立ち返ると、確率p=1で成功する独立
ベルヌーイ試行を繰り返して初めて成功するまでの試行回数=0．つまり
常にP(X=k=1)=1なので、その場合の期待値=1

p=0の場合は、元の分布の定義に立ち返ると、確率p=0で成功する独立
ベルヌーイ試行を繰り返して初めて成功するまでの試行回数=∞。
つまり常にP(X=k)=0なので、成功しない。その場合の期待値=∞

以上から0<=p<=1において、期待値=1/p。

=-p・{-1/p-(1-p)/p^2}