次の非復元試行の平均（負の超幾何分布？）

質問

赤玉n、白玉m、n+m=N
からなる集団から玉を取り出すとき

最初に白玉を引くまでに引く赤玉の数の
期待値を求めてやりたいです。

0: m/N
1: n/N * m/(N-1)
2: n/N * (n-1)/(N-1) * m/(N-2)
：
k: n/N * (n-1)/(N-1) *…* (n-k+1)/(N-k+1) * m/(N-k)

各試行は負の超幾何分布の成功回数が１回の場合に
当たると思うのですが、
ネットで調べてみると、負の超幾何分布の確率変数は
試行回数であったり、成功回数であったりばらばらで、
前者の場合の平均値の求め方がよくわかりません。

よろしくお願いします。

回答No.1

noname#227064 · ベストアンサー

最初に白玉を引くまでに引く赤玉の数がkとなる確率をp(k,m,n)と表記します。

p(k,m,n) = {m*n!*(N-k-1)!}/{N!*(n-k)!}
なので、期待値a(m,n)は、
a(m,n) = Σ[k=0~n]k*p(k,m,n)
= Σ[k=0~n]k*{m*n!*(N-k-1)!}/{N!*(n-k)!}
= Σ[k=1~n]k*{m*n!*(N-k-1)!}/{N!*(n-k)!}
= n/N*Σ[k=1~n]((k-1)+1)*{m*(n-1)!*((N-1)-(k-1)-1)!}/{(N-1)!*((n-1)-(k-1))!}
= n/N*Σ[h=0~n-1](h+1)*{m*(n-1)!*((N-1)-h-1)!}/{(N-1)!*((n-1)-h)!}
= n/N*Σ[h=0~n-1](h+1)*p(h,m,n-1)
= n/N*{a(m,n-1)+1}
となる。

ここで、n = 0, 1, 2のときの期待値を実際に計算すると次のようになる。

n = 0のとき
a(m,0) = Σ[k=0~0]k*{m*0!*(m-k-1)!}/{m!*(0-k)!} = 0

n = 1のとき
a(m,1) = Σ[k=0~1]k*{m*1!*((m+1)-k-1)!}/{(m+1)!*(1-k)!}
= 0*{m*1!*((m+1)-0-1)!}/{(m+1)!*(1-0)!} + 1*{m*1!*((m+1)-1-1)!}/{(m+1)!*(1-1)!}
= 1/(m+1)

n = 2のとき
a(m,2) = Σ[k=0~2]k*{m*2!*((m+2)-k-1)!}/{(m+2)!*(2-k)!}
= 0*{m*2!*((m+2)-0-1)!}/{(m+2)!*(2-0)!} + 1*{m*2!*((m+2)-1-1)!}/{(m+2)!*(2-1)!} + 2*{m*2!*((m+2)-2-1)!}/{(m+2)!*(2-2)!}
= 2m/{(m+1)(m+2)} + 4/{(m+1)(m+2)}
= 2/(m+1)

この結果から
a(m,n) = n/(m+1)
と推定し、これを数学的帰納法により証明する。

n = 0のとき、
a(m,0) = 0
でa(m,n) = n/(m+1)が成り立つ。
n = kのとき、a(m,k) = k/(m+1)が成り立つとすると、
a(m,k+1) = (k+1)/(m+k+1)*{a(m,k)+1}
= (k+1)/(m+k+1)*{k/(m+1)+1}
= (k+1)/(m+1)
なので、n = k+1のときもa(m,n) = n/(m+1)が成り立つ。
したがって、求める期待値は
n/(m+1)
である。

計算間違いしているかもしれないのでご自分でも確認してください。

お礼

計算すると確かにそうなりました。
御礼遅れましたが、ありがとうございます。

補足

ご回答ありがとうございます．
返事が遅れて大変申し訳ありません．
自分で計算ししだい，再度ご連絡いたします．