最初に白玉を引くまでに引く赤玉の数がkとなる確率をp(k,m,n)と表記します。
p(k,m,n) = {m*n!*(N-k-1)!}/{N!*(n-k)!}
なので、期待値a(m,n)は、
a(m,n) = Σ[k=0~n]k*p(k,m,n)
= Σ[k=0~n]k*{m*n!*(N-k-1)!}/{N!*(n-k)!}
= Σ[k=1~n]k*{m*n!*(N-k-1)!}/{N!*(n-k)!}
= n/N*Σ[k=1~n]((k-1)+1)*{m*(n-1)!*((N-1)-(k-1)-1)!}/{(N-1)!*((n-1)-(k-1))!}
= n/N*Σ[h=0~n-1](h+1)*{m*(n-1)!*((N-1)-h-1)!}/{(N-1)!*((n-1)-h)!}
= n/N*Σ[h=0~n-1](h+1)*p(h,m,n-1)
= n/N*{a(m,n-1)+1}
となる。
ここで、n = 0, 1, 2のときの期待値を実際に計算すると次のようになる。
n = 0のとき
a(m,0) = Σ[k=0~0]k*{m*0!*(m-k-1)!}/{m!*(0-k)!} = 0
n = 1のとき
a(m,1) = Σ[k=0~1]k*{m*1!*((m+1)-k-1)!}/{(m+1)!*(1-k)!}
= 0*{m*1!*((m+1)-0-1)!}/{(m+1)!*(1-0)!} + 1*{m*1!*((m+1)-1-1)!}/{(m+1)!*(1-1)!}
= 1/(m+1)
n = 2のとき
a(m,2) = Σ[k=0~2]k*{m*2!*((m+2)-k-1)!}/{(m+2)!*(2-k)!}
= 0*{m*2!*((m+2)-0-1)!}/{(m+2)!*(2-0)!} + 1*{m*2!*((m+2)-1-1)!}/{(m+2)!*(2-1)!} + 2*{m*2!*((m+2)-2-1)!}/{(m+2)!*(2-2)!}
= 2m/{(m+1)(m+2)} + 4/{(m+1)(m+2)}
= 2/(m+1)
この結果から
a(m,n) = n/(m+1)
と推定し、これを数学的帰納法により証明する。
n = 0のとき、
a(m,0) = 0
でa(m,n) = n/(m+1)が成り立つ。
n = kのとき、a(m,k) = k/(m+1)が成り立つとすると、
a(m,k+1) = (k+1)/(m+k+1)*{a(m,k)+1}
= (k+1)/(m+k+1)*{k/(m+1)+1}
= (k+1)/(m+1)
なので、n = k+1のときもa(m,n) = n/(m+1)が成り立つ。
したがって、求める期待値は
n/(m+1)
である。
計算間違いしているかもしれないのでご自分でも確認してください。
お礼
計算すると確かにそうなりました。 御礼遅れましたが、ありがとうございます。
補足
ご回答ありがとうございます． 返事が遅れて大変申し訳ありません． 自分で計算ししだい，再度ご連絡いたします．