負の二項分布について

質問

期待値の求め方はどうやるのでしょうか？
成功回数をr回、繰り返しの回数をx回とすると、期待値の定義式に代入したときに、xはr回から∞回まで足し合わせるということになるのでしょうか？
もし、そうだとしても計算の方法が良く分からないのですが、方針だけでも教えていただけると幸いです。

回答No.3

age_momo · ベストアンサー

#2です。少し時間ができたので補足しておきます。
まず、この期待値をExcelで確認する方法ですが、
可能性としては0から∞まであるのでその足し算になります。
もっともある程度でほとんど結果に影響が出ない数字になるので適当なところまで足してください。

A1に成功回数r、A2に1回の成功の確率πを入れるとして

C1　=A1
D1 =(C1-C$1)*COMBIN(C1-1,C$1-1)*A$2^C$1*(1-A$2)^(C1-C$1)
C2　=C1+1

後はC2をコピーしてC1000ぐらいまで、D1をコピーしてD1000ぐらいまでペーストし、
どこかに=sum(D1:D1000)を入れて結果を確認してみてください。
例えばA1に8、A2に0.3を入れれば8*0.7/0.3=18.6666・・・になると思います。

ところで負の二項分布はr回成功するまでの失敗の回数の分布です。

××○×・・・・・×○・・・・・×○

なので確率としては試行回数xなら(x-1)回に○が(r-1)個あり、
確率としては

C[x-1,r-1]*π^r*(1-π)^(x-r)

この時、×の個数は(x-r)ですので期待値は

Σ[k=r,∞](k-r)*C[k-1,r-1]*π^r*(1-π)^(k-r)

と計算されます。(r回どころか、1回成功するまでの回数だけでも無限大がありえますから)

ところでそれぞれの○までをバラバラにしてみると

××・・・・×○
×○
○
××○
・・・・・・・

×がいくつか並んで最後に○がくる形になります。
これは幾何分布にほかなりません。
つまり、確率変数Xを成功確率πの試行でr回成功するまでの失敗回数とし、
確率変数Y1,Y2,・・・・Yrを一回の成功までの失敗回数とすると
それぞれは独立なので

E(X)=E(Y1)+E(Y2)+・・・・・・+E(Yr)

が成立します。個々の

E(Yi)は容易に求めることができて(等比級数でも確率母関数でもいいですが)

(1-π)/π

です。これがr個ありますから

E(X)=r(1-π)/π

と求まります。期待値の計算には分解したほうが簡単になる例は
結構ありますよ。

お礼

ありがとうございます。非常に参考になりました。

回答No.2

age_momo

一番簡単なのは幾何分布で考えること。
成功確率πの幾何分布のｒ回それぞれの失敗回数の期待値は(1-π）/π
これがｒ回あるので期待値は

ｒ(1-π）/π

回答No.1

norainu234

変量をXa、その確率をYaとして

期待値　E=Σ[k=1|n]XnPn　というやつかな？
これは↓
期待値　E=X1P1+X2P2+…+XnPn
と同じですが、
…の部分を∞と解釈してませんか。

これは例えばn=5のとき
E=X1P1+X2P2+X3P3+X4P4+X5P5
というようになります。

例えば、サイコロ１つふって出た目の分の点がもらえるというゲームをした場合、
X1=1,X2=2,X3=3,X4=4,X5=5,X6=6
確率はP1～P6まで全て1/6ですね。
事象は全部で6通りあるので、n=6で、
E=1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6=7/3
と計算できます。

式はnが十分大きいときまで想定して…を使って一般化しているのです。

補足

えっと、具体的に書くと、条件は質問欄の通りで、成功の確率をπとして
xの分布をp(x|r,π)とすると、
p(x|r,π)＝x-1Cr-1π^r(1-π)^(x-r)
ですよね。
これの期待値E(X)は
E(X)＝r(1-π)/πとなるらしいのですが、この期待値に行き着くにはどう計算したらよいのでしょうか？ということを聞きたかったのです。

端的に言うと困っていることは

負二項分布の場合に、
E(X)の定義式に入れたときのxの足し合わせの範囲とその計算方法です。

質問の仕方が悪かったかもしれません。申し訳ないです。