幾何分布の問題を教えてください。

質問

幾何分布の問題を教えてください。

パラメータ p (0<p<1) の幾何分布を Ge(p) とする。

X～Ge(p) の

期待値は E[X]=(1-p)/p
分散は V[X]=(1-p)/p^2

であることを証明せよ。

また、X,Y：i.i.d.～Ge(p) のとき、
確率P(X=Y) と P(XY≦1) を求めよ。

という問題があるのですがよくわかりません。
どなたか教えてください。

お願いします。

回答No.1

alice_44

まず、教科書を開いて、「パラメータ p の幾何分布」の確率関数を確認。
X～Ge(p)　⇔　P(X=k) = p(1-p)^(k-1)　です。
あとは、普通に、E[X] = Σ[k=1→∞] kP(X=k) の値と
V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = Σ[k=1→∞] (k^2)P(X=k) - (E[X])^2 の値を
計算するだけですね。

X,Y：i.i.d.～Ge(p) のほうは、
P(X=Y) = Σ[k=1→∞] P(X=k ∧ Y=k) = Σ[k=1→∞] P(X=k) P(Y=k) と
P(XY≦1) = P(X=1 ∧ Y=1) = P(X=1) P(Y=1) を利用して
計算すればよいです。
「i.i.d」が何者かは、知っているんですよね？
知らないなら、教科書をひいてからです。