位相空間内の「距離」とは？

質問

カオスの性質を調べるため，以下のページを参照しました．
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%82%A2%E3%83%97%E3%83%8E%E3%83%95%E6%8C%87%E6%95%B0

ここで，位相空間内の2点を結ぶベクトルの「距離」が登場しました．

位相空間は，ｘ軸とｙ軸で表す物理量の次元（←1次元，2次元…の次元ではなく，長さなどの単位の意味です）が異なるのが普通なので，ベクトルの長さを計算するのに違う次元の量を足し算する必要があり，使う単位系を取り替えれば答えが全く違ってきてしまいます．

それでは，例えば今回の例で，リアプノフ指数を計算するための「ベクトルの長さ」は，どのように計算すればよいのでしょうか？？

回答No.2

rabbit_cat

＞リアプノフ指数って，自分で勝手に選んだ単位系に依存してしまうのですか！？
ある相空間の独立変数と、別の相空間の独立変数との間の関係が、Ｃ１微分同相写像でつながっていて、距離の定義の仕方（Ｌ１とかＬ２とか）が同じなら、変わりません。
なんで、普通に使っている分には（ある程度物理的な意味づけがあるような独立変数の取り方をしているなら）独立変数や単位系の取り方によらず、リアプノフ指数は一意に決まる、と思っていればいいです。

ですが、純粋に、相空間（系の状態を一意に決定できる独立変数全てによる空間）という意味で考えれば、リアプノフ指数を変わってしまうような独立変数の取り方はいくらでも考えられます。極端な例で言えば、例えば、考えているflowの軌跡上の長さを独立変数に取ることにすれば、リアプノフ指数は当たり前ですが０です。

補足

具体例で^^
たとえば横軸が位置座標ｘ，縦軸が運動量ｐの2次元の相空間を考えたとします．
質量の単位をkgからgに変えたら，空間がｙ軸方向に引き伸ばされると思うのですが，そのときリアプノフ指数が変わらないということは，
初期値の差のｘ成分の増幅と，ｙ成分の増幅が同じ割合ということでよろしいですか？？
それは，カオス理論における仮定か，定理なのでしょうか？
一般論として導かれているならばお教え下さい．

回答No.1

rabbit_cat

ある単位系を決めて、そのときの相空間での適当な距離の定義（別に２乗和である必要もない）で計算すればいいです。そのときのリアプノフ指数は、その相空間で計算したときの値です。別の変数をとって別の相空間で計算すれば、当然別の値になります。
そもそも、相空間（phase space）というのはそういうものです。

補足

え！？
リアプノフ指数って，自分で勝手に選んだ単位系に依存してしまうのですか！？