4次元空間で点と直線・平面の距離の公式の一般化を考えたい

質問

4次元空間と書いたのは、一般化と単に記述の簡単さが目的です。
さらに記述の簡単さのために、4次元空間の中の点(p,q,r,s)と、n次元ベクトル空間との距離を考えたいと思います。

4次元空間の中の点(p,q,r,s)と、(a[1],a[2],a[3],a[4])で張られる1次元ベクトル空間(原点を通る直線)との距離の公式はどう書けるのでしょうか?

4次元空間の中の点(p,q,r,s)と、(a[1],a[2],a[3],a[4]),(b[1],b[2],b[3],b[4])で張られる2次元ベクトル空間との距離の公式はどう書けるのでしょうか?

4次元空間の中の点(p,q,r,s)と、(a[1],a[2],a[3],a[4]),(b[1],b[2],b[3],b[4]),(c[1],c[2],c[3],c[4])で張られる3次元ベクトル空間との距離の公式はどう書けるのでしょうか?

また、垂線の足の座標はどうなるのでしょうか？

n次元ベクトル空間上の点をいくつかのパラメータを用いて表し、距離の2乗を偏微分したものが0ということから公式を導こうとしたのですが、うまくいきません。
どうかきれいに計算できた方は教えてくださいませ。

回答No.1

toranekosan222

一次元ベクトル空間でも、2次元、３次元でも、
それらのベクトル空間に直交するベクトルを探し、

そのベクトル空間内の点と、直行するベクトルで、直線の一般式がかけます。
この直線で、(p,q,r,s)を通るものを選んでやれば良いです（詳細はお任せ致します）

また、別解では、距離の２乗に関して、変分法を用いれば割り出せたりしますね。

n>mとして、
m次元空間の基底ベクトルはmこあります。これをX1,X2,....,Xmとします。
n次元空間の基底ベクトルはnこあります。m次元空間を内包するので、X1,X2,....,Xmに直交する基底ベクトルとして、Ym+1,....,Ynのベクトルが存在します。
m次元空間の座標をR=a1*X1+.....am*Xm+R0　
R次元空間の座標をT=b1*X1+..........+bn*Yn
として、
両者の差を取り、2乗にしてやると、２点間距離になりますね。

こんどは動的なパラメーターとしては、a1....amだけになることに注意して、これらに関して変分法を適応すると、連立方程式をとくことに帰着するでしょうね。

2次元だと（xはx軸方向のベクトル、yはy軸方向のベクトル
R=a*x
T=b1*x+b2*y
R-T=(a-b1)x+b2*y
(R-T)^2=(a-b1)^2+b2^2 ( xとyの内積は０）
これを変分法をもちいて、aのみの変数だと考えると
2(a-b1)=0
よって、a=b1のときに最短距離となる・・・（あたりまえだね）

基本的に任意のベクトル空間を正規直交基底化してやると、簡単化しますよね、問題は。

とちゅうまでといた所でなげちゃいますが、続きを頑張ってください！