図形の問題です。

質問

こんにちは、数学が苦手な理系の高校三年生です。
教えていただきたい問題があります。

３辺の長さが1、1＋t、1－tである三角形の最大角が120度以上であるとき、tの値の範囲を求めよ。ただしtの値は正とする。

tが正の数より1＋tが最も長い辺で最大角と向き合う辺なので
余弦定理を使って範囲を作るのかなぁと思ったんですが
いまいちはっきりとした答えがでませんでした…
流れだけでもいいので、教えてください。よろしくお願いします。
それでは、失礼します。

回答No.3

nettiw · ベストアンサー

流れは、

（１）正数a,b,c に対し、-1＜(a＾2+b^2-c^2)/2ab＜1 ならば、
a,b,c を三辺の長さとする三角形が存在する。
なぜならば、条件を変形し背理法を用い整理すると、
a＜b+c、b＜c+a、c＜a+bとなり、
三角不等式に他ならない。
と書いては見ましたが、（数分で証明は出来ますが）
無駄でも答案としては、
1＜2...
1+t＜2-t...2t＜1...t＜1/2...
1-t＜2+t...-1＜2t...　とする方が良いかもしれません。
（２）正数条件は、0＜t＜1です。
（３）最大角に関する条件のみで良いです。
この証明は自明とするか、
証明するか、
無駄でも最大角以外の計算をするか、
無駄な計算をするのが賢明かもしれません。

（１）（２）（３）と憂いを排除すれば、
方針通り、　
cosT=[1^2+(1-t)^2-(1+t)^2]/2(1-t)=(1-4t)/(2-2t)
cos180度＜cosT≦cos120度
-1＜(1-4t)/(2-2t)≦-1/2
-2+2t＜1-4t≦-1+t
6t＜3 かつ 2≦5t
(2/5)≦t＜(1/2) ...... 。

お礼

回答ありがとうございます。
細かい説明まで嬉しいです。先生が細かく説明まですると難しい問題だといっていた理由がわかりました…。
この説明をよく読んで吟味し自分なりの答案を作り上げたいと思います。

回答No.4

take_5

３辺の長さが1、1＋t、1－tである三角形が存在するから、｜（1＋t）-（1－t）｜＜1＜（1＋t）＋（1－t）。
従って、t＞0より　0＜t＜1/2.
ここで余弦定理を使うと、cosθ＝(1-4t)/(2-2t)。
-1＜cosθ≦-1/2.　よつて、-1＜(1-4t)/(2-2t)≦-1/2.分母は常に正から払っても同値。計算すると、(2/5)≦t＜(1/2)。

お礼

回答ありがとうございます。
三角形存在の式までいるのですね！
余弦定理に夢中で見落とすところでした…。

回答No.2

noname#71905

方針はＯＫだと思います。

前の方がおっしゃっているように、
…どこまでやったかを書かないと、適切なアドバイスが得られません。

とりあえず、チェックしてみると良い部分です。
「三角形の最大角が120度以上」
●三角形ですから、180°未満であることを抜かしていませんか
　120≦θ＜180　のとき　－1＜cosθ≦－1/2　となることから、
－1＜余弦定理で表したcosの式≦－1/2　を解いてみてください。

お礼

回答ありがとうございます。
この不等式を解いたら見事答えが導きだせました！

回答No.1

R_Earl

> tが正の数より1＋tが最も長い辺で最大角と向き合う辺なので
> 余弦定理を使って範囲を作るのかなぁと思ったんですが

それでいいと思いますよ。

> いまいちはっきりとした答えがでませんでした…
> 流れだけでもいいので、教えてください。よろしくお願いします。

考え方はあっているので、あとは不等式を解くだけです。
どんな計算をして、どんな答えがでたのでしょうか？
それが分からないことにはアドバイスしようがありません。

お礼

回答ありがとうございます。
そうですね…きちんと途中までを説明せずに申し訳ありませんでした。