扇形の図形に長方形が内接

質問

点Oを中心とする半径１の円を中心角∠AOB＝4θ(0＜θ＜π/4)で切った扇形に、内接する長方形PQRSを考える。

図があります↓
　　　Q＿＿＿＿＿P
B　　｜　　　　　　｜　　　A　　
　　　R＿＿＿＿＿S

　　　　　　O

(1)∠POQ＝2xとして、長方形PQRSの面積S_θ(x)を求めよ。
(2)S_θ(x)を最大にするｘの値と、最大値M(θ)を求めよ。
(3)θが0＜θ＜π/4の範囲で変化するとき、関数M(θ)のグラフをかけ

この問題に取り組んでいます
△OPQに余弦定理を使い、PQ＝√(2-2cos2x)
として、そのあとQRの長さを表したいと思い、PQの中点をM、RSの中点をNをしてOM-ON＝QRとしてみたのですが、うまくできませんでした。
この(1)はきれいな答えが出るのでしょうか？
回答いただければありがたいです。よろしくお願いします

回答No.1

totoro7683 · ベストアンサー

では（１）だけ
方針は正しいと思いますけど、余弦定理を使うと
かえって計算を複雑にすると思います。
３角形OPNに注目してください。
OPを斜辺とする直角三角形ですね。
∠POM=ｘであるのでPM=OPsinx=sinx したがってPQ=2sinx
(√(2-2cos2x)も倍角公式を使って計算すると2sinx
になります。）
同様にOM=cosx
ONを求めればMNがもとまりますね。∠SON=２θですから
OSsin2θ=NS=MP=sinx よってOS=sinx/sin2θ
OM=OScos2θ=sinxcos2θ/sin2θ
MN=OM-ONでたかさがもとまります。
加法定理を使って整理するときれいな形になります。