図形の問題です

質問

またまた質問させてくださいm(_ _)m
解説がない答えしか付いておらず、どうしても解けないのでお願いします。

【問題】
１辺２のせい四面体O－ABCにおいて、ABの中点をM、BCをt:(2-t)に内分する点をPとするとき、三角形OMPの面積の最小値と、その時のtの値を求めよ。

[答]
t=6/11
最小値=√66/11

[途中経過]
三角形OMPを最小値にするには、MPが最小になればいいと思い、CBに垂線を下ろした値が最小値と思ったら、t＝1/2になってしまいます。答えと合わない。

どうやら、PがBC上を動くと、高さも変わってしまうということが分かりましたが・・・そうすると、

３辺OM、MP、POを求めて、頑張って三角形の面積を求めるのかと思い・・・

OM=√2
MP=√（t^2-t+1）
OP=√(ｔ＾2-2t+4)

となり、ココから、cos∠OPMを余弦定理より求めて、そこからsin∠OPMを求めて・・・
S=1/2*MP*OP*sin∠OPM
をやったのですが・・・√の中にtの4次関数が・・・

ヘロンの公式でやっても複雑に…

最小値を求めるだけでいいので、違う方法があるのでしょうか？

ご教授お願いします。ちなみに数学IAの範囲です。

よろしくお願いします。

回答No.2

debut · ベストアンサー

OM=√3
MP=√（t^2-t+1）
OP=√(ｔ＾2-2t+4)
を使います。
△OMPの面積が最小になるには、底辺をOM=√3とすれば、高さ
つまり、PからOMまでの垂線(PHとします)の長さが最小になればよい。
直角三角形OPHで三平方の定理から(OH=aとします)
PH^2=t^2-2t+4-a^2・・・(1)
直角三角形MPHで三平方の定理から
PH^2=t^2-t+1-(√3-a)^2・・・(2)
(1),(2)から
計算して、a=(-t+6)/(2√3)
これを(1)に入れると、
PH^2=(11/12)t^2-t+1
..........=(11/12){t^2-(12/11)t}+1
..........=(11/12){t-(6/11)}^2+8/11
PH＞０なので、t=6/11のとき、最小√(8/11)になります。
よって、面積は(1/2)*√3*√(8/11)=(√66)/11
ですね。

回答No.1

gohtraw

三次元の座標系にこの四面体を置いてやります。Ｏを原点、Ｍをｘ軸上、△ＯＡＢをｘｙ平面上におくと、各点の座標は
Ａ（√３、１、０）
Ｂ（√３、ー１、０）
Ｍ（√３、０、０）
Ｃ（２√３／３、０、２√６／３）
となります。
　ベクトルＭＯとベクトルＭＰの内積を両ベクトルの成分から求めると、
内積＝（ＯＭの長さ）＊（ＭＰの長さ）＊ｃｏｓ∠ＯＭＰ
なのでこれを二乗して（（ＯＭの長さ）＊（ＭＰの長さ））＾２から引いてやると
（（ＯＭの長さ）＊（ＭＰの長さ））＾２＊（１－（ｃｏｓ∠ＯＭＰ）＾２）
　　＝（（ＯＭの長さ）＊（ＭＰの長さ））＾２＊（ｓｉｎ∠ＯＭＰ)＾２
なり、これは△ＯＭＰの面積の二乗の４倍に等しくなります。

お礼

回答ありがとうございます。
すみませんm(_ _)m　数学IAの範囲でお願いします！