【問題】3辺の長さが1,1+t,1-tである三角形の最大角が120度以

質問

【問題】3辺の長さが1,1+t,1-tである三角形の最大角が120度以上であるとき,tの値の範囲を求めよ。ただし,tは正の値とする。

やり方が思いつきません^^;
鈍角（90度以上）だったらわかりそうなのですが…
どなたかよろしくお願いします！！

回答No.2

LightOKOK · ベストアンサー

最大角は、最大の辺と向かい合う角です。
1,1+t,1-t の中で一番大きいのは、1+t ですから、
この辺と向かい合う角をθとすると、余弦定理から
cosθ={1+(1-t)^2-(1+t)^2}/2(1-t)

θが120°以上のときは、cosθ≦-1/2 ですから、
-1≦cosθ≦-1/2 とおき、t の範囲を求めます。

このとき、1-t>0 であることに注意して不等式を解きます。
不等式を解くのは自分でやってください。
解くと、2/5≦t≦1/2

お礼

ありがとうございました('▽'*)ﾆﾊﾟｯ♪

回答No.4

info22

120°≦θから余弦定理を適用すると
cos120°＝-(1/2)≧cosθ＝{1+(1-t)^2-(1+t)^2}/{2(1-t)}
これを解けばtの範囲が出てきます。

お礼

ありがとうございました！

回答No.3

naniwacchi

こんにちわ。＾＾

まず、いきなり「解き方」にたどりつかなくても、
「手がかり」をどんどん挙げていきましょう。

・まず、1, 1-t, 1+tの長さで三角形ができるためには、「三角不等式」が成り立たないといけません。
・次に、t＞0ですから、3つの値の大小関係もわかりますね。

ここまでは「解き方」に関係なく、導き出しておきたいところです。

そして、「解き方」のメインとなるのは、次の内容です。
・最大角の対辺は、3つのうちどれになりますか？
最大角をθとでもおいて、○弦定理を書き下しましょう。
そして、θは 120度～180度の間ですから、不等式が得られますね。

お礼

ありがとうございました！

回答No.1

gohtraw

三角形ＡＢＣを考え、各辺の長さを
ＡＢ＝１＋ｔ
ＢＣ＝１－ｔ
ＣＡ＝１
とします。三辺のうちＡＢが最長辺なので最大角はＣです。
ＡからＢＣの延長に垂線を下ろし、ＢＣの延長との交点をＤとすると、ＣＤの長さはｃｏｓ（π－∠ＡＣＢ）、ＡＤの長さはｓｉｎ（π－∠ＡＣＢ）　となります。∠ＡＣＢが１２０°以上１８０°未満なのでＣＤおよびＡＤの長さの範囲が判ります。
　一方△ＡＢＤは直角三角形になるので三辺につき三平方の定理が成り立つので
（１＋ｔ）＾２＝（１－ｔ＋ＣＤ）＾２＋ＡＤ＾２
とし、上記のＣＤ、ＡＤの長さの範囲を当てはめればｔの範囲も判ると思います。
　あるいは△ＡＢＣの面積をヘロンの公式で表わし、これが（１－ｔ）＊ＡＤ／２と等しいとおいてもいいと思います。

お礼

ありがとうございました('▽'*)ﾆﾊﾟｯ♪