疑問

質問

△ＡＢＣにおいて次のものを求めよ。
１Ａ＝６０°、a=√１９、b=５、c=３のときの残りの角を求めよ。
という問題で、正弦定理を使って残りの角を求めたんですが、
２通り答えがでました。　しかし、方、一方は三角形の性質である、
最大角の対辺は必ず、最大角という条件に不適だったため、答えから外れました。
正弦・余弦で求められた答え（正のみ）は必ず正しいと思ってたんですが、このように、不適な場合もあるんですか？？
毎回、最大角と一致するか確認しなければならないのでしょうか？？

回答No.1

Mr_Holland

＞正弦・余弦で求められた答え（正のみ）は必ず正しいと思ってたんですが、このように、不適な場合もあるんですか？？

　その通りです。
　正弦定理で求めた場合は、０～180°の範囲で２通りの解（９０ど以外の場合）が出てきますので、不適な解を除外しなければなりません。

　（例）　sin∠A＝1/2　のとき　∠A＝30°または150°

　しかし、余弦定理で求めた場合は、０＜θ＜180°の範囲で　cosθ　とθは一意の関係にありますので、不適な解が出てくることはありません。

　従って、最大角との確認をしたくない場合は、最初から余弦定理でとくと良いでしょう。

補足

なぜ満たさない角が正弦ではでてきて余弦では必ず満たす角が求められるのが不思議で夜も眠れません。
できれば、簡単な証明をしていただきたいです。