図形についての問題を教えてください。

質問

三角形ABCがあり、AB=５、BC=６、cosA＝１/８である。

(１)辺Aから直線BCに垂線を引き、交点をHとするとき、線分AHの長さを求めてください。
また、三角形ABCの外接円の中心をO,直線AOと直線BCの交点をDとするとき。OD/ADの値を求めてください。
これを解いてみたのですが、まずは辺ACの長さを余弦定理より
　６(二乗)＝ｘ(二乗)＋５(二乗)－２×ｘ×５×１/８
これを解くと、
　８ｘ(二乗)－１０ｘ－８８＝０　
　４ｘ(二乗)－５ｘ－４４＝０
　（４ｘ＋１１）(ｘ－４)＝０
AC＞０より
　AC＝４
また、余弦定理よりcosB＝(５(二乗)＋６(二乗)－４(二乗))/２×５×６
これを解くと、３/４になります。
よってＡＨ＝5sinB＝５×(√７/４)＝５√７/４になりました。
しかし後半の、三角形ABCの外接円の中心をO,直線AOと直線BCの交点をDとするとき。OD/ADの値を求める問題がどうしてもわからないので教えてもらえないでしょうか？
できれば、途中式も含めてわかりやすく教えてもらえると助かります。

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

高さを求める場合は面積を利用する場合が多いです。

線分OBと線分OCを引いて、△OBCを作ってください。

OD:AD = △OBCの高さ(BCを底辺とした時の):△ABCの高さ(BCを底辺とした時の)

です（中学3年の平行線と線分と比の分野）。
また、底辺が同じ三角形の面積比は高さの比と同じなので、

OD:AD = △OBCの高さ(BCを底辺とした時の):△ABCの高さ(BCを底辺とした時の) = △OBCの面積 : △ABCの面積
∴ OD:AD = △OBCの面積 : △ABCの面積

となります。
つまり

OD/AD = △OBCの面積 / △ABCの面積

となるので、△OBCと△ABCの面積を求めましょう。
△ABCの面積は底辺と高さが分かっているのですぐ求められます。
△OBCの面積は、△OBCが二等辺三角形であることを利用しましょう。