数学二次関数 最小値の最大・最小

質問

mを実数とする。xの関数 f(x)=X^2+3x+m の m≦x≦m+2 における最小値をgとおく。
(1) gをmを用いて表せ。
(2)mの値がすべての実数を変化するとき、gの最小値を求めよ。
という問題なのですが(2)の答えが－6(m=－4)になると書いてありました。
ですがgが問題に書いてある通りの条件なら－6にはならないと思いました。(f(x)上にy=－6という点は存在しないので)
この考えはどこが違うのか教えていただきたいです

回答No.7

nananotanu

二次関数の極致⇒二次関数の極値

でしたね、ごめんなさい

回答No.6

nananotanu

二次関数の極致は頂点とは限らないです。
定義域に頂点が含まれない場合、定義域の両端が極値。

回答No.5

asuncion

xの定義域なのかmの定義域なのかが判別しづらいようでしたら、
i) m + 2 ≦ -3/2よりm ≦ -7/2、つまり『xの』定義域が軸の左側にあるとき
g = f(m + 2) = (m + 2)^2 + 3(m + 2) + m = m^2 + 8m + 10
ii) m ≦ -3/2 ≦ m + 2より-7/2 ≦ m ≦ -3/2、つまり『xの』定義域に軸を含むとき
g = f(-3/2) = m - 9/4
iii) -3/2 ≦ m、つまり『xの』定義域が軸の右側にあるとき
g = f(m) = m^2 + 4m
と考える。
と解釈してください。

回答No.4

asuncion

場合分けの区切りにおいて等号はどう付けてもかまわないので、
i) m + 2 ≦ -3/2よりm ≦ -7/2、つまり定義域が軸の左側にあるとき
g = f(m + 2) = (m + 2)^2 + 3(m + 2) + m = m^2 + 8m + 10
ii) m ≦ -3/2 ≦ m + 2より-7/2 ≦ m ≦ -3/2、つまり定義域に軸を含むとき
g = f(-3/2) = m - 9/4
iii) -3/2 ≦ m、つまり定義域が軸の右側にあるとき
g = f(m) = m^2 + 4m
と考える。
i) m ≦ -7/2におけるg = m^2 + 8m + 10の最小値を求める。
g = (m + 4)^2 -16 + 10 = (m + 4)^2 - 6であるから、頂点は(-4, -6)
mの定義域m ≦ -7/2に頂点を含むから、gの最小値 = -6
ii) -7/2 ≦ m ≦ -3/2におけるg = m - 9/4の最小値を求める。
傾き1の直線であるから、gが最小になるのはm = -7/2のときで、gの最小値 = -14/4 - 9/4 = -23/4
iii) -3/2 ≦ mにおけるg = m^2 + 4mの最小値を求める。
g = m^2 + 4m = (m + 2)^2 - 4であるから、頂点は(-2, -4)
mの定義域-3/2 ≦ mは頂点の右側にあるから、gが最小になるのはm = -3/2のときで、
gの最小値 = 9/4 - 6 = -15/4
以上の考察から、gの最小値は-6で、そのときのm = -4

回答No.3

asuncion

(1)
f(x) = x^2 + 3x + m = (x + 3/2)^2 + m - 9/4と平方完成できるから、
頂点は(-3/2. m - 9/4)
m ≦ x ≦ m + 2より、x軸上に幅2の棒を置き、左右に動かすことを考える。
i) m + 2 ＜ -3/2よりm < -7/2、つまり定義域が軸の左側にあるとき
g = f(m + 2) = (m + 2)^2 + 3(m + 2) + m = m^2 + 8m + 10
ii) m ≦ -3/2 ≦ m + 2より-7/2 ≦ m ≦ -3/2、つまり定義域に軸を含むとき
g = f(-3/2) = m - 9/4
iii) -3/2 ＜ m、つまり定義域が軸の右側にあるとき
g = f(m) = m^2 + 4m

という風に考える必要があるのではないかと思います。

回答No.2

asuncion

＞頂点は(1)より(載せていなくてすいません) -7/2≦m≦-3/2 の範囲に含まれます。
どうしてですか？計算の過程を示してください。

回答No.1

asuncion

＞(f(x)上にy=－6という点は存在しないので)
どうしてですか？
例えば、m = -24とすると、f(x) = x^2 + 3x - 24より、
x = 3, -6のときに
y = -6になりますよ。

補足

すみません、質問がずれていました。
あらためて質問させていただきます。
f(x)は二次関数なので頂点で最もyの値は低くなります。そして頂点は(1)より(載せていなくてすいません) -7/2≦m≦-3/2 の範囲に含まれます。このとき最小値gが最も小さくなるのはmが最も小さい時なのでm+2= -3/2(f(x)の軸) つまりm=-7/2の時だと考えました。-7/2≦m≦-3/2 の範囲ではg=m -9/4なのでg=-23/4となりました。この考え方はどこが間違っていたのでしょうか？
文章が拙く申し訳ありません