互いに素

質問

こんにちは。
　高校数学の問題集を解いていたら、解説中の一部（問題文中の与式が、有理数の解を持たないことの証明をするための問題の解説です）に次の説明がありました。

「…ｙとｚは互いに素であるから、その少なくとも一方は奇数である。」

　このことは、指摘されるとなんとなくわかるのですが、なぜ？という感じです。
　証明することはできるものなのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.3

kup3kup3 · ベストアンサー

おはようございます。
>「…ｙとｚは互いに素であるから、その少なくとも一方は奇数である。」

とありますが、y,zは整数ですよね。
◎　整数y,zがあるとき、
　yとzとは互いに素
⇔yとzの最大公約数が１
　と定義します。

したがって「両方とも偶数である」と
仮定すれば、両方とも２で割れる、つまりy,zの
最大公約数は、２の倍数となって矛盾する、
よってどちらかは少なくとも奇数、ということです。

また「２つのうち、少なくとも一方は奇数」ということは
(ア)片方だけ、奇数　の場合と
(イ)両方とも奇数の場合があります。

また、[互いに素」と「素数」とは違う概念なので
注意しましょう。
例　
　(ア)片方だけ奇数のもの
　「　４と１５とは互いに素」、「６と３５とは互いに素」、
　「３と２２は互いに素」
　(イ)両方とも奇数
　　「１５と７７は互いに素」など

しかし、「８と１２とは互いに素でない」（最大公約数が４なので）
整数論そのものは高校ではやりませんけれども、受験勉強などを続けていると、その内に分かってきます。

お礼

回答ありがとうございます。
＞y,zは整数ですよね。
そうです。整数です。

＞また「２つのうち、少なくとも一方は奇数」ということは
(ア)片方だけ、奇数　の場合と
(イ)両方とも奇数の場合があります。

問題は、命題の証明問題であり、上記のごとく、その後、(ア)片方だけ、奇数　の場合と(イ)両方とも奇数の場合に場合分けをし、条件式との矛盾を示しています。
　有理数や無理数の証明問題としては、このように分数の形を仮定し、偶数、奇数の矛盾を示すという定石みたいなものがあるようですね。

回答No.5

sanori

こんにちは。

「少なくとも一方が奇数」の補は、
「両方とも偶数」です。

具体的に数字を挙げてみればよいです。

２と４
４と６
４と８
１２６と３７８９２
これらは全部、２という公約数を持っています。
ですから、偶数同士は、互いに素ではありません。

証明の一例

仮に、
「ｙもｚも偶数である」
としましょう。

すると、整数ｍ、ｎを用いて
ｙ＝２ｍ
ｚ＝２ｎ
と表すことができる。
これはｙとｚが、２という公倍数を持つことを示している。
よって、
ｙもｚも偶数であるとき、ｙとｚは互いに素ではない
ということが証明できました。

つまり、
「ｙもｚも偶数であるとき、ｙとｚは互いに素ではない」
が正しいわけですが、
この対偶は、
「ｙとｚが互いに素であるとき、ｙとｚの少なくとも一方は偶数以外（＝奇数）である」
ですから、これも正しいということになります。

お礼

回答ありがとうございます。
命題の対偶も真であるという証明ですね。
回答に感謝します。

回答No.4

mistery200

偶数の定義は２の倍数です。
両方とも偶数とは、両方とも２の倍数です。

お礼

回答ありがとうございます。
なるほど、わかりました。

回答No.2

noname#77845

「ｙとｚが互いに素」なんですよね？
ｙとｚの取り得る組合せは、
奇数・奇数
奇数・偶数
偶数・偶数
になりますが、「偶数・偶数」の時それぞれ
ｙ＝２×ｙ'
ｚ＝２×ｚ'
と表せます。
ｙとｚに共通因数「２」があることになります。
これは、最初の「互いに素」に反するので、前提となる「偶数・偶数」の組合せが間違っていることを表しているので、少なくとも一方は奇数でなくてはなりません。

お礼

回答ありがとうございます。
問題の解説では、「ｘ＝y/z　（ｙとｚが互いに素）と仮定して・・・」と回答を進める部分です。

ANo.1で示していただいた背理法ですね。
ありがとうございました。

回答No.1

nettiw

（背理法）
ｙとｚが共に偶数ならば、ｙとｚは互いに素ではありません。

お礼

回答ありがとうございます。
確かにそうですね。わかりました。