log₂3は無理数であることを示せ。互いに素必要？

質問

自分の持ってる問題集に

log₂3は無理数であることを示せ。
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という問題がるんですけど、この問題の解説が

log₂3を有理数と仮定して

log₂3＝a/b （a,bは互いに素な正の整数）

３＝２^(a/b)

両辺をb乗して

3^b＝2^a より矛盾

log₂3は無理数である (証終)

これってa,bが互いに素な必要ってないと思うんですけど、どう思われますか？

回答No.3

178-tall · ベストアンサー

>両辺をb乗して　3^b＝2^a より矛盾…
　　　　　　　　　　　↑
左辺は必ず奇数、右辺は必ず偶数、よって「矛盾」 … なのでしょう。

お礼

お礼をさせて頂きます。ご回答してくださった方ありがとうございました。感謝申し上げます。！

補足

その通りです！つまりa,bは互いに素な必要はないわけです。

回答No.2

N5200model05

必要ないというより、「有理数」の定義自体が、「a/b （a,bは互いに素な正の整数）」であるからです。

「互いに素」と書かないと、「なんで、互いに素でなくても有理数をそう表せるのか」を、説明しなくちゃいけません。「約分すれば互いに素になるから」、と言えばいいだけですが、まじめに書くと面倒くさいですよね。

まぁ、あえて「互いに素」と書かないで証明する方法もありますけど、若干回り道になるのは否めません。

補足

え、たとえば4/2これも有理数ですけど、互いに素ではありませんよ？

回答No.1

gamma1854

もちろん、log[2](3)=A/B, GCM(A, B)＝k (≠1)、(A=ka, B=kb) としてもかまいません。
その際は、(3^b)^k=(2^a)^k. すなわち、3^b=2^a となり、GCM(A, B)=1 の場合に帰着します。

補足

いや、互いに素に帰着しなくてもいいと思います。この問題の本質は2と3が互いに素であることだと思うのですが？よく考えてみてください。