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高校数学 式の証明
- 高校数学の式の証明について質問です。説明が途中で分かりづらくなってしまいました。模範解答が省略されているため、考え方や途中式を省略せずに教えていただけると助かります。
- 問題１では、「３（ab+bc+ca）=abc」かつ「a+b+c=3」のとき、少なくともひとつの変数が３に等しいことを証明する方法を教えてください。
- 問題２では、「x+y+z=a」かつ「x^3 + Y^3 + z^3 = a^3」のとき、「（x+Y）a^2 -a (x+y)^2 +xy(x+y)=0」が成り立つことを証明し、少なくともひとつの変数がaに等しいことを証明する方法を教えてください。
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質問者の書き込みミスを推定して解いてみる。 a^-n + b^-n + c^-n = ( 1/a + 1/b +1/c )^n と推定する。 問題4 a＋b＋c＝m、ab＋bc＋ca＝n、abc＝kとすると、a、b、cは t＾3-mt＾2＋nt-k＝0 ‥‥の3つの解。 1/a + 1/b +1/c = (ab＋bc＋ca)/(abc)＝1/(a+b+c)より、k＝mn この時、方程式は t＾3-mt＾2＋nt-mn＝(t-m)*(t＾2+n)＝0 。 たとえば、a＝mとすると、a＋b＋c＝mよりb＋c＝0 → （a+b)*（b+c）*（c+a）=0 例えば、b＋c＝0とすると、左辺＝(1/a)＾n＋(1/b)＾n＋(1/c)＾n＝(1/a)＾n＋(b＾n＋c＾n)/(bc)＾n＝nは奇数だからb＾n＋c＾n＝0になるから＝(1/a)＾n 右辺＝ ( 1/a + 1/b +1/c )^n＝(1/a＋(b＋c)/(bc))＾n＝(1/a)＾n a+b＝0、c+a＝0 の場合でも同じに成立する。 よって、題意のとおりに成立する。
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- htms42
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問題１ 素朴に一文字消去だけで出てきます。 ｃを消してみます。 ２つ目の式からｃ＝３－(ａ＋ｂ) 1つ目の式に代入 (ａ＋ｂ)(ａ－３)(ｂ－３)＝０ ａ＋ｂ＝０の時、元の式に入れてｃ＝３ ａ＋ｂ≠０、ａ＝３またはｂ＝３ こういうのはまずやってみることではないでしょうか。 結果から逆算しても証明にはなりません。 問題２ これも素朴にｚを消去すればでてきます。 (ｘ＋ｙ)ａ^2－ａ(ｘ＋ｙ)^2＋ｘｙ(ｘ＋ｙ)＝０ がでてくれば因数分解はすぐにできるでしょう。 (ｘ＋ｙ)(ａ－ｘ)(ｂ－ｘ)＝０ 問題１と問題２は同じ問題なのです。 因数分解が苦手なのではないですか。問題３でもそれで引っかかっているようです。
お礼
ありがとうございます。 ＞こういうのはまずやってみることではないでしょうか。 一見して諦めているわけでなく、やってみてわからなくなり質問した次第です。 消去する文字をひとつに絞ればよかったのですね。 ありがとうございました。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
a^-n + b^-n + c^-n = (1/a + 1/b + 1/c)^n であれば… 既に (a + b)(b + c)(c + a) = 0 が判っているのだから、 a = -b または b = -c または c = -a である。 a = -b のとき、1/a = -1/b。 また、n が奇数だから、a^-n = -(b^-n)。 よって、 a^-n + b^-n + c^-n = 0 + c^-n = (0 + 1/c)^n = (1/a + 1/b + 1/c)^n b = -c や c = -a のときも、同様。 奇を衒わず、簡素にね。
お礼
＞既に (a + b)(b + c)(c + a) = 0 が判っているのだから、 ＞a = -b または b = -c または c = -a である。 なるほど！納得できました。ありがとうございます。 a = -bかつ b = -c かつ c = -a とは また違うのでしょうか。
- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
問題の1と2は対称式になってる。対称式は、以下の方法が常套手段。 覚えておいて、損はない。 問題1 a＋b＋c＝3、3(ab＋bc＋ca)＝abc＝k とすると、a、b、cは t＾3-3t＾2＋(k/3)t-k＝0の3つの解。 これを因数分解すると、(t-3)*(3t＾2+k)＝0だから、a,b,cのうち少なくともひとつは3に等しい。 問題2 同様にして、x＋y＋z＝a、xy＋yz＋zx＝m、xyz＝nとすると、x、y、zは t＾3-at＾2＋mt-n＝0 ‥‥(1)の3つの解。 x＾3＝ax＾2-mx＋n であるから、y、zについても同じ。 よって、x＾3＋y＾3＋z＾3＝a(x＾2＋y＾2＋z＾2)-m(x＋y＋z)＋3n＝a(a＾2-2m)-am+3n＝a＾3 したがって、n＝am であるから、この時方程式(1)は t＾3-at＾2＋mt-am＝(t-a)*(t＾2+m)＝0 であるから、x,y,zのうち、少なくともひとつはaに等しい。 たとえば、z＝aとしてやると(x、yでも同じ)x＋y＝0から、（x+Y）a^2 -a (x+y)^2 +xy(x+y)=0は自明。 問題3 加比の理を使う手もあるが、そんな事を知らなくても、すでに回答が出ているので、その方法でよい。 問題4 問題の転記ミスをしてないか？
お礼
ありがとうございます。 ベストアンサー付けさせていただきました。 問題１はいくつかの方法で解けましたが、 まだ定着していない自覚があるので、沢山の回答をいただけて 挑戦できるのはとてもありがたいです。 問題２がわかりやすいです。解けてスッキリしました。 有難うございます。お世話になります。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
式の基本的な扱い方という意味で 因数分解派とは異なる A No.1 の方法を説明してみる。 問題１ 与えられた条件は、 3(ab + bc + ca) = abc ←(1), a + b + c = 3 ←(2). これらを使って、(a - 3)(b - 3)(c - 3) の値を計算する。 括弧を展開して、= abc - 3(ab + bc + ca) + 6(a + b + c) - 9. (1) を使って ab + bc + ca を、(2) を使って a + b + c を消せば、 = abc - abc + 6×3 - 9 = 0. ほら、= 0 になった。 この手法は、他の問題でも同様に使える。
お礼
なるほど！と唸ってしまった回答です。 ありがとうございます！ この範囲は色々な解き方ができるのが面白いですね。
- tanukibuta
- ベストアンサー率25% (6/24)
ANo3のtanukibutaです。式の番号にふりまちがいがあります。この点に注意してください。
- tanukibuta
- ベストアンサー率25% (6/24)
式をどのように扱うか、という点に関しての理解が不十分なようなので、問題１を使って、式の取り扱いに関しての注意のみを記しておきます。 ３（ab+bc+ca）=abc …(1) a+b+c=3 …(2) (a-3)(b-3)(c-3)=0 という等式を作ればいい、というのは理解できているわけですから、～=0 を作るのは(1)から、というのはわかりますか？ もう少し言うと、(2)を 3(ab+bc+ca)-abc=0 と変形し、この左辺が (a-3)(b-3)(c-3) と因数分解できればいい、ということを理解できるか、ということです。 ここまでわかれば、あとは簡単！ (1)から b+c=3-a c+a=3-b a+b=3-c であることを確認した上で、 (1)の定数３に(2)を代入し、 (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc を因数分解すればよい。この因数分解はできますよね？ というか、即座に (b+a)(b+c)(c+a) という結果が出てくるはず！ 問題２以降も同じように考えれば、解けると思うんですが… 数学を嫌いにならないようにしてください。
お礼
ありがとうございます。 回答してくださった内容は勿論、式を書いてくださった跡（改行・空白）が とても読みやすく、感謝しております。 無事に解けました。 数学は解けた時の気持よさが大好きなので、嫌いにならないようがんばります。 できたとき、面白いですよね！
- puusannya
- ベストアンサー率41% (59/142)
ここに書かれた問題は基本的にはすべて交代式の考え方が使えます。 （１）３（ab+bc+ca）-abc=0 (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=0 カッコを解いて因数分解すると (a+b)(b+c)(c+a)=0 となりますのでa+b+c=3をつかって (3-a)(3-b)(3-c)=0 が成りたちます。 （２）x^3 + Y^3 + z^3 = a^3 で x+y+z=a だから x^3 + Y^3 + z^3 =(x+y+z)^3 (x+y+z)^3-x^3 - Y^3 - z^3=0 これを展開して因数分解すると (y+z)(x+y)(x+z)=0 となります。 x+y+z=a より (a-x)(x+y)(a-y)=0 が成り立ちます。 カッコを解いて整理すると、（x+Y）a^2 -a (x+y)^2 +xy(x+y)=0 になります。 （３）x+y+z=a と置きます。 （x＋ｙ）/z ＝(ａ－ｚ)／ｚ=a/z-1 (y+z)/x =(a-x)/x=a/x-1 (z+x)/y=(a-y)/y=a/y-1 よって a/z=a/x=a/z より a≠０ のとき ｘ＝ｙ＝ｚ このとき （x＋ｙ）/z = (y+z)/x = (z+x)/y＝２ ａ＝０ のとき ｘ+ｙ+ｚ＝０ より （x＋ｙ）/z = (y+z)/x = (z+x)/y＝－１ （４）1/a + 1/b +1/c = 1/(a+b+c) 通分して分母を払うと （ａ＋ｂ＋ｃ）（ａｂ+ｂｃ+ｃａ）－ａｂｃ＝０ カッコを解いて因数分解すると (a+b)(b+c)(c+a)=0 申し訳ありませんが、後半がまだ解けません。
お礼
ありがとうございます。 どれもわかりやすく、感謝しております。 特に（３）の、＝ａと置く解法が目から鱗でした。 最後の問題は、出題者のミスだったようです。大変御迷惑をおかけしてしまいました。申し訳ありません。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
問題１ 判ったんなら、やってみよう。 (a - 3)(b - 3)(c - 3) の括弧をを展開して、 3(ab + bc + ca) = abc と a + b + c = 3 を 使うと文字が減らせないか、考えてみる。 全部消えて 0 になる。 問題２ ひとつめは、 両式から z を代入消去すれば自動的に出てくる。 ふたつめは、上と同様。 (x - a)(y - a)(z - a) の括弧を展開して、 式から a を消去しようとすると、 自動的に x, y, z も消える。 問題３ (x + y)/z = (y + z)/x = (z + x)/y = K から ひとつづつ x, y, z を代入消去すると、 K に関する二次方程式が残って、 K = 2, -1 と求まる。計算あるのみ。 問題４ これも、同じ。 (a + b)(b + c)(c + a) の括弧を展開して、 1/a + 1/b + 1/c = 1/(a+b+c) を使って 文字が減らせないか、考えてみる。 1/a + 1/b + 1/c = 1/(a+b+c) = K と置くと、 少し扱いやすくなる。 後半は、成立たない。反例：(a, b, c) = (1, -1, 2)
お礼
有難うございます、 問題４は問題制作者のミスだったようですが、 こちらの反例の解答を持って行きましたところ、 「よく頑張った」と満足な顔をされてしまいました。 お手数おかけし申し訳ありません。
お礼
＞質問者の書き込みミスを推定して解いてみる。 ＞a^-n + b^-n + c^-n = ( 1/a + 1/b +1/c )^n と推定する。 ありがとうございます。 プリントを作った方の間違いとのことで、翌日訂正がありました。 仰るとおりの訂正でした。 ご迷惑をおかけしてしまいました。 汲んで下さり本当にありがとうございます。 式がとてもわかりやすいです。ありがとうございます。