素イデアルの冪と準素イデアル

質問

R を実数体として、多項式環 R[x, y] のイデアルを考えます。

(x, y)^2 = (x^2, xy, y^2) = (x^2, y) ∩ (x, y^2)

上の関係では、素イデアルの冪が準素イデアルに等しくなっていますが、一般的には同じことがいえるのでしょうか。
有理整数環 Z と、体 k 上の多項式環 k[x], k[x, y] で調べてみたのですが、素イデアルの冪が準素イデアルにならない例を見つけられませんでした。

どうか、アドバイスをよろしくお願いします。

回答No.2

blocksuruna · ベストアンサー

RがUFDだとすると成り立ちます。
（証明）
RをUFD、pを素イデアル、xy∈p^n　とします。
このとき、x∈R-pならば、xy∈pから、y∈p、したがってy^n∈p^nです。
つぎに、x∈p-p^nとします。
xyの素元分解に現れる素元をp_1,p_2,・・・p_mとします。
すると、あるp_iがあって、p_i∈pです。また、xyはp_iをnの倍数個、したがってn個以上因数にもちます。
一方、x∈p-p^nであることから、xはp_iをｎ個未満しか因数にもちません。
したがってyがp_iを因数にもつことになってy∈p、したがってy^ｎ∈p^nです。
よってx∈R-p^nならばy^n∈p^nです。よってp^nが準素イデアルであることが示されました。

また、RがUFDでないときについては以下のような反例があります。
C[x,y,z]を複素数体上の3変数多項式環として、R=C[x,y,z]/(z^2-xy)とすると(x,z)は素イデアルですが、(x,z)^2は準素イデアルではありません。
なぜならば、xy=z^2∈(x,z)^2ですが、x∈R-(x,z)^2かつ任意の自然数nに対してy^n∈R-(x,z)^2だからです。

お礼

C[x, y, z]／(z^2 - xy) と ([x], [z]) という例は参考になりました。

回答No.1

sphere_aki

pを素イデアルとすると、p^2⊂pだから、xy∈p^2とするとxy∈p、したがってx∈pまたはy∈pです。よってx^2∈p^2またはy^2∈p^2なのでp^2は準素イデアルです。

お礼

今回疑問に感じて質問したこの問題は、どうもそんなに簡単ではないようです。
だいぶ時間を使って考えているのですが、いまだに完全には解決していません。

まだ未回答だったこの質問に最初に答えてくださって、どうもありがとうございました。

補足

この質問の目的は、素イデアルの冪が準素イデアルになる例を探すことではありません。
素イデアルの冪が準素イデアルになることを証明するか、素イデアルの冪が準素イデアルにならない例を発見することです。
素イデアル p の冪とは p^n ( n ∈ N ) のことなので, p^2 に限らず p^3, p^4 なども含みます。
よって, p^2 が準素イデアルだということを証明しただけでは不十分です。
さらに、この回答内容では, p^2 が準素イデアルになることが証明できていません。

環 R のイデアル q が準素イデアルであることの定義は,
" xy ∈ q かつ x ∈ R － q ならば y^n ∈ q となる自然数 n が存在する "　です。
お書きになった内容を読むと、その自然数 n が 2 だとお考えのようですが、証明に欠陥があります。

p を素イデアルとするとき、この回答で示されていることは,
" xy ∈ p^2 かつ x^2 ∈ R － p^2 ならば y^2 ∈ p^2 "　です。
" xy ∈ p^2 かつ x ∈ R － p^2 ならば y^2 ∈ p^2 "　が成り立つことは証明されていません。