無理数であることの証明（背理法）について

質問

√2は無理数であることを証明する問題についてなのですが

背理法を用いて、√2は無理数でないとすると有理数だから
√2＝p/q　（p、qは互いに素な正の整数）とおける・・・

（中略）

pもqも偶数であるから、互いに素であることに反する。
よって√2は有理数ではなく無理数である

と解説には記載されています。

ここでわからないのですが、なぜpとqは互いに素な正の整数でないといけないのでしょうか？？
たとえばp＝8、q＝6だとしても、結局のところ4/3となるので有理数ということでOKな気がするのですが。。

数学が苦手なので、アホな質問だとは思うのですが、わかる方がおられましたら教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

notnot · ベストアンサー

＞ここでわからないのですが、なぜpとqは互いに素な正の整数でないといけないのでしょうか？？

「pもqも偶数であるから」という推論結果が出てきても、矛盾を導けないからです。

＞たとえばp＝8、q＝6だとしても、結局のところ4/3となるので有理数ということでOKな気がするのですが。。

その証明をこう書き換えればいいです。

===========================
√2＝p/q という分数(p q は整数)で表すことが出来たとする。p q が互いに素でない時は約分して、√2＝pp / qq (pp qq は互いに素な正の整数） と表す。

以降の文章中の p q をそれぞれpp qqに書き直す。

回答No.5

WiredLogic

実は、互いに素、と仮定しなくても、有理数ではないことは証明できます。

教科書の証明の流れだと、こんな感じで書いてあると思いますが…

(√2)q = p
両辺を２乗すると、
2q^2 = p^2
p^2 は偶数だから、pも偶数、
そこで、p=2p' (p'は自然数) とおくと、
2q^2 = (2p')^2
2q^2 = 4p'^2
q^2 = 2p'^2
q^2 は 偶数だから、qも偶数

互いに素、つまり、p/q は既約分数(既に約分してあって、これ以上約分できない分数)
と仮定しておけば、どっちも偶数になった時点で、これはおかしいから、証明終わり、
とできます。

互いに素、を仮定しておかないと、これではまだ約分ができるので、証明を終わりにできません。

そこで、q = 2q' (q'は自然数) とおくと、
(2q')^2 = 2p'^2
4q'^2 = 2p'^2
2q'^2 = p'^2
で、また、p'が偶数になってしまいます。

さらに、p'=2p"とおくと、
2q'^2 = (2p")^2
2q'^2 = 4p"^2
q'^2 = 2p"^2
で、またまた、q'が偶数に、

こうやって続けていくと、p/q はどこまでも、２で約分できるということになってしまいますが、
pやqがまともな有限の値を持つ自然数であれば、どこかで、割り切れるはずなので、
こんなことは、起こりえません。どこで間違ったかというと、やはり、自然数p,q をつかって、
√2 = p/q で表せる、と、考えたところに問題があるので、√2 は有理数になりません。
一応、念のためにいっておきますと、有理数と別個に、無理数というのが定義できる訳ではなく、
実数のうちで、有理数でない、つまり、整数の分数の形で表せない数のことを無理数と呼ぶことに
しているだけなので、実数の範囲だと、有理数でない＝無理数である、ことになります。

なので、互いに素でなくたって、いいじゃないか、というのは、ある意味、正しい疑問ではあるのですが、
互いに素でなく、約分が可能な分数を考えたとしても、ご質問のように、8/6 とでたら、4/3にすれば、
いいじゃないか、と言えるような、まともな分数にはならない訳です。

そもそも、既約分数だと仮定して問題が出るようなら、やはり、分数にならない、と考えるのが、
筋ですし、わざわざ、上のようなところまで書くと面倒なので、最初に、p,qは互いに素、を仮定
して始める訳です。

納得できてないのは、おそらく、クラスで質問者だけ、なんてことはないと思うので、できたら、
こういうことは、授業中に質問してみた方がいいと思います。納得できないけど、質問するのは
恥ずかしい子にも、説明したいが、興味を持つ子が一人でも二人でもいないと、むなしいし、と
思っている先生にも、功徳を施すことができます^^

お礼

詳しく説明していただきありがとうございます。

とりあえず頭イッてる系の疑問ではなかったみたいなので安心しました（笑）
本の解説のところに「pとqは互いに素な・・」という記述ではなくて「p/qは既約分数であると仮定する」と書いててくれればわかりやすいのになぁと思いました。

ありがとうございました！

回答No.4

aptx5884

確かに、n/mが有理数であるためにnとmが互いに素でないといけないということはありません。
しかしご自分でおっしゃっている通り、
約分を続けていけば必ず互いに素な整数（pとqとする）を使ってp/qという形にすることができます。
必ずです。
だからあらゆる有理数とp/qという形の数全て（q=0ではない）が、１対１で対応することになります。（厳密には符号の問題があるのでqを正の整数とでもおくべきでしょうが）
このことにそれなりの価値があるというのが１つの理由ですが、
この証明問題に限った話ならそうするのが一番楽だからだと思っていいと思います。
仮に互いに素とおかなかったとしても、証明の過程でpとqに共通する因数をくくりだせば同じ結論を得るはずです。

お礼

皆さま、教えていただきありがとうございました！

pとqが「互いに素な正の整数」であるとしているからこそ
pとqが偶数となる→矛盾している、と言うことができるわけですね。

頭が混乱しましたが何とか理解できました。ありがとうございました。

回答No.3

Tacosan

証明をよく見てください.
「p と q が互いに素」と仮定しないと, 困るところがありませんか?

回答No.2

simaku

仮に√2＝p/qとおいてpとqが互いに素な正の整数でない、すなわち右辺が既約分数でないとすると
p/qの分母分子をpとqの公約数でわることができます。そしてその分数をr/sとするとr/sは既約分数となるので後の証明は同じことですよね
だから最初からpとqを互いに素な正の整数でおいているわけです