ルートを含む連立方程式に関して

質問

こんにちは．
数学の問題を質問させてください．

分母にルートを含む連立方程式の解き方を悩んでいます．
次の3つの連立方程式で変数はx,y,zの3つでA，B，C,Pは任意の定数です．

1/{P+sqrt(x^2+y^2+z^2)}+1/{P+sqrt((x-1)^2+y^2+z^2)}=A
1/{P+sqrt((x+2)^2+y^2+z^2)}+1/{P+sqrt((x+1)^2+y^2+z^2)}=B
1/{P+sqrt(x^2+(y-2)^2+z^2)}+1/{P+sqrt((x-1)^2+(y-2)^2+z^2)}=C

MaximaやMathematicaなどのソフトを使って，このまま計算させると常に「実行中」となり，解が求まりません．
手計算である程度，式を簡単にしようと式変形を試したのですが，有理化することもできず，ルートが計算の邪魔をします．

このような連立方程式はどのように解けばいいのでしょうか？
どなたか解法の手順をご存知の方がおられましたら，教えてください．

回答No.1

ramayana

いくつかのアプローチが考えられます。「反復法」と「多項式に変換」の２つの方法を紹介します。

１　反復法

x、y、z の初期値を適当に定めて、そこから小刻みに変数を動かして解に近づける方法です。

(1)　最も単純には、刻みの幅を h として、(x, y, z+h)、(x, y, z-h)、(x, y+h, z)、(x, y-h, z)、(x+h, y, z)、(x-h, y,z) の6 点のうち、最も解に近いものを次の初期値にします。

解への近さの指標として、例えば、次のD(x,y,z) が考えられます。

D(x,y,z) = F(x,y,z)^2 + G(x,y,z)^2 + H(x,y,z)^2
F(x,y,z) = 1/{P+sqrt(x^2+y^2+z^2)}+1/{P+sqrt((x-1)^2+y^2+z^2)} - A
G(x,y,z) = 1/{P+sqrt((x+2)^2+y^2+z^2)}+1/{P+sqrt((x+1)^2+y^2+z^2)} - B
H(x,y,z) = 1/{P+sqrt(x^2+(y-2)^2+z^2)}+1/{P+sqrt((x-1)^2+(y-2)^2+z^2)} - C

(2)　また、6 点を比較する代わりに、D(x,y,z)の偏微分を計算して、D(x,y,z)の減少幅が最も大きい方向に(x,y,z)を動かすことも考えられます。

(3)　（ニュートン法）上とは別に、初期値での偏微分係数を使って、初期値の近傍でF(x,y,z)、G(x,y,z)、H(x,y,z) をそれぞれ近似する線形関数を作ることができます。これらを FL(x,y,z)、GL(x,y,z)、HL(x,y,z) とすれば、線形連立方程式

　　FL(x,y,z) = 0
　　GL(x,y,z) = 0
　　HL(x,y,z) = 0

を簡単に解くことができます。そこで、その解を次の初期値とする方法もあります。これは、 1 変数のときの「ニュートン法」を多変数に拡張したものです。

(4)　調べれば、もっと効率の良い反復法があるかもしれません。反復法では、解に必ず収束する保証がありません。また、解を１つ見つけるには良いのですが、すべての解を求めたいときには、不向きです。ただ、計算が簡単なので、試してみる値打ちはあると思います。

２　多項式に変換

ご質問の連立方程式は、多項式の連立方程式に変換できます。

　　r = sqrt(x^2+y^2+z^2)
　　s = sqrt((x-1)^2+y^2+z^2)
　　t = sqrt((x+2)^2+y^2+z^2)
　　u = sqrt((x+1)^2+y^2+z^2)
　　v = sqrt(x^2+(y-2)^2+z^2)
　　w = sqrt((x-1)^2+(y-2)^2+z^2)

とすれば、ご質問の方程式は、r,s,t,u,v,w,x,y,zを未知数とする次の連立方程式に帰着します。

[1]　1/{P+r}+1/{P+s} = A
[2]　1/{P+t}+1/{P+u} = B
[3]　1/{P+v}+1/{P+w} = C
[4]　r^2 = x^2+y^2+z^2
[5]　s^2 = (x-1)^2+y^2+z^2
[6]　t^2 = (x+2)^2+y^2+z^2
[7]　u^2 = (x+1)^2+y^2+z^2
[8]　v^2 = x^2+(y-2)^2+z^2
[9]　w^2 = (x-1)^2+(y-2)^2+z^2

[1]、[2]、[3] は、分数式ですが、分母を払えば多項式になります。
一般に、多項式の連立方程式は、終結式を計算して未知数を１つずつ消去できます。最後は、1 変数多項式の根を求める問題に帰着します。（もし終結式（resultant）に馴染みがなければ、ネット等で調べてみてください。）

ただ、未知数が多いときや、多項式の次数が大きいときは、大量の計算を要します。

３　計算量を減らす工夫

以下、２の方法を採用します。今回のケースでは、式の特殊性を活かして、計算量を減らせそうです。
[4]、[5]、[6]、[7] から次が得られます。

[10]　r^2 - s^2 = 2x - 1　　（[4] - [5]）
[11]　r^2 - t^2 = -4x - 4　　（[4] - [6]）
[12]　r^2 - u^2 = -2x - 1　　（[4] - [7]）

さらに次が得られます。

[13]　3r^2 - 2s^2 - t^2 + 6 = 0　　（2×[10] + [11]）
[14]　2r^2 - s^2 - u^2 +2 = 0　　（ [10] + [12]）
[15]　2P + r + s - A(P+r)(P+s) = 0　（[1] から）
[16]　2P + t + u - B(P+t)(P+u) = 0　（[2] から）

そこで、[13]、[14]、[15]、[16] を連立させて解けば、未知数 r、s、t、u が求まります。未知数を4個にまで減らせたので、終結式等の計算も比較的楽になります。r、s、t、u が分かれば、残りの v、w、x、y、z は、簡単に計算できます。

４　終結式の実例

例として、P = 1、A = 1、B = 2 の場合を見てみます。[13]から[16]を書き直して次のようになります。

[17]　3r^2 - 2s^2 - t^2 + 6 = 0
[18]　2r^2 - s^2 - u^2 +2 = 0
[19]　2 + r + s - (1+r)(1+s) = 0　
[20]　2 + t + u - 2(1+t)(1+u) = 0

まず、u を消去します。[18] と [20] を u の多項式とみて終結式を計算して、次を得ます。

[21]　2r^2+8r^2t^2+8r^2t+2-s^2-4s^2t^2+7t^2-4s^2t+8t = 0

[17]、[19]、[21] を連立させれば、r、s、t が求まります。
次に t を消去します。[17] と [21] を t の多項式とみて終結式を計算して、次を得ます。

[22]　 576r^8+3216r^6-1344r^6s^2+6385r^4-5528r^4s^2+1168r^4s^4+5288r^2-7170r^2s^2+3144r^2s^4-448r^2s^6+1552-2920s^2+2001s^4-592s^6+64s^8 = 0

[19]、[22] を連立させれば、r、sが求まります。
最後に s を消去します。[19] と [22] を s の多項式とみて終結式を計算して、次を得ます。

[23]　 576r^16+3,216r^14+5,041r^12-240r^10-4,450r^8+224r^6+1,553r^4-592r^2+64 = 0

[23] は r の 1 変数多項式なので、根を計算できます。実数根は、次の 4 個です。

　　0.65462787707241373
　　-0.65462787707241373
　　0.6169849849583644
　　-0.6169849849583644

ただ、r = sqrt(x^2+y^2+z^2) だったので、r は、非負値です。よって、 r として可能性があるのは、 r = 0.65462787707241373 と r = 0.6169849849583644 です。

これらの r を [19] と [22] に代入すれば、s が求まります。s として可能性があるのは、[19] と [22] の両方に共通する非負の根です。

これらの r、s を [17]、[19]、[21] に代入すれば、t が求まります。t として可能性があるのは、[17]、[19]、[21]のすべてに共通する非負の根です（ただし、[19] は当然満たされるので、[17] と [21] だけをチェックすればよい）。

以下、同様に続ければ、x、y、z まで求まります。