証明問題

質問

x^2+y^2=1 (x>=0,y>=0)
のすべての有理数解（x,yが共に有理数）は、
x=(1-x^2)/(1+x^2),y=2t/(1+x^2) (tは0=<t=<1,有理数)
であることを示せ。

背理法で証明するのかと思いました。
x=(1-x^2)/(1+x^2),y=2t/(1+x^2) 　以外に有理数解が存在するとする。
として考えていこうと思いましたが、このあとどう矛盾を導けばよいか
分かりません。また、別の考え方があるとおもうので、教えてもらえればと
おもいます。

回答No.9

alice_44 · ベストアンサー

全ての解を求めるということは、
方程式を同値変形するということです。

xの2乗 + yの2乗 = 1,
x,yは有理数
⇔
x = cosθ, y = sinθ,
0＜θ＜π/2,
x,yは有理数
⇔
x = (1 - tの2乗)/(1 + tの2乗),
y = 2t/(1 + tの2乗),
t = tan(θ/2), 0＜θ＜π/2,
x,yは有理数
⇔
x = (1 - tの2乗)/(1 + tの2乗),
y = 2t/(1 + tの2乗),
0＜t,
x,yは有理数
⇔
x = (1 - tの2乗)/(1 + tの2乗),
y = 2t/(1 + tの2乗),
0＜t,
tは有理数

これが、証明すべきことでした。
No.8 では、この一番下の「⇔」を示したのです。

お礼

回答ありがとうございます
同値変形がなかなか難しい。
x = cosθ, y = sinθ,
0＜θ＜π/2,
x,yは有理数
⇔
x = (1 - tの2乗)/(1 + tの2乗),
y = 2t/(1 + tの2乗),
t = tan(θ/2), 0＜θ＜π/2,
x,yは有理数
で、基本的なことになると思うのですが、理解不足なことがあります。
(1)tは有理数、無理数どちらなのか
(2)x = (1 - tの2乗)/(1 + tの2乗),
　y = 2t/(1 + tの2乗),
　これは、媒介変数tで、有理数解をすべて表しているのか
もしよかったら、何度も失礼ですが教えてもらえたらと思います。

回答No.10

alice_44

(1)
tは最終的に有理数であり、
そのことを示すのが証明の主眼なのですが、
t=tan(θ/2) と置いた時点では、
未だ、有理数と論証できてはいません。
θが実数であることは既に示してありますから、
置いた時点で、tが実数であることは言えています。
そのtが有理数であることを示すのが No.8 の内容です。

(2)
それが全解であるということは、
No.9 の各ステップが同値変形であること
によって保証されます。

回答No.8

alice_44

x = cosθ
y = sinθ
t = tan(θ/2) と置くと
x,y が t の有理式で表せることは有名ですが、
同時に、t が x,y の有理系式で表せることも
知っておくとよいです。t = y/(x+1) です。
これにより、x,y が両方有理数であることと
t が有理数であることが同値だと解ります。
Q.E.D.

お礼

回答ありがとうございます
この問題を証明するということは、
何をいわなければならないのかということを
まだちゃんと自分自身でわかっていないように
思いました。
何から何を導くのか、頭を整理してして考えようとしていますが
すっきりいっていません。

回答No.7

tmpname

最後はもちろんa=(1-t^2)/(1+t^2)です

回答No.6

tmpname

#3さんの証明と実は近いのですが：
（以下の事は実際に図に書きながら確認してください）

x^2 + y^2 = 1上の点(a,b) (但しa,bはともに0以上で
有理数）と(-1,0)の2点を通る直線を考える。
この直線の傾きをtとしたとき、
t = b / (1+a)
で、tは0≦t≦1の有理数(の内何か）である。逆に0≦t≦1なる
有理数tが与えれた時、x^2 + y^2 = 1と
y = t(x+1)と交点（の内(-1,0)でないほう）(a,b)が
「a,bはともに0以上で有理数」である事を示せれば、
この (a,b) <=> tの関係は1対1であることが分かる。

さて実際に交点を求める（連立方程式を解く）と
容易にxについて2次方程式になって、しかもその
一方の解は-1であると分かっているからx座標は
根と係数の関係より計算できる。実際
a=(1-t^2)/(x+t^2), b= 2t/(1+t^2)である　（証明終）

回答No.5

Tacosan

#4 にさらに補足.
手元で計算した限りでは
x^2+y^2=1 と y = 2t/(1+t^2)
から (y が有理数なら) t が有理数となること, またこの t を使って x = (1-t^2)/(1+t^2) と表せることも確認できています. 割算が不要な分だけこっちの方が安全かも.
x = (1-t^2)/(1+t^2)
からも同じ結果は出ますが計算が大変 (でも 0 ≦ t ≦ 1 を示すのはこちらの方が簡単).

回答No.4

Tacosan

まず x^2 + y^2 = 1 となる有理数 x, y が, 有理数 t により
x = (1-t^2)/(1+t^2), y = 2t/(1+t^2)
と表されることは力技で証明できます. y = 0 のときは (x=1 より) t=0 とできる. その他のときは x/y から t に関する 2次方程式を導き, その解が有理数になることを示せばいい.
で, 0 < t ≦ 1 となる (ものが存在する) ことは (ちょっと卑怯だけど) t と x の関係式を出せばわかる.
たぶん「流れは素直」だが, どこをどう見ても「スマート」とは言い難い....

x = (1-t^2)/(1+t^2), y = (2t)/(1+t^2) と表したときに「t が有理数なら x, y も有理数」は (有理数が四則演算について閉じていることと, 有理数 t に対して 1+t^2 ≠ 0 から) ほぼ自明では＞#3.

お礼

回答ありがとうございます
この問題を証明するということは、
何を言わないと証明できたことにならないのか。
ということが、自分自身まだ、よくわかっていない
ように思いました。

回答No.3

mister_moonlight

x^2+y^2=1　から、x＝cosθ、y＝sinθ　0≦θ≦π/2　と表せる。
tを実数として、θ≠π　から　tan(θ/2)＝tとすると、x＝cosθ＝(1-t＾2)/(1+t＾2)、y＝sinθ＝(2t)/(1+t＾2)　‥‥(1)　と表示できる。これは三角関数で証明出来る。
したがって、tを実数とすると、xとyは(1)のように表示できる。
但し、xとyは　有理数にも無理数にもなり得る。したがって、必要条件に過ぎない。

逆に、十分条件として、tが有理数の時、xとyが有理数になる事の証明が必要。
有理数：t＝m/n(mとnは互いに素、n≠0、0≦m≦n)とすると、x＝(1-t＾2)/(1+t＾2)＝(m＾2-n＾2)/(m＾2+n＾2)、y＝(2t)/(1+t＾2)＝(2mn)/(m＾2＋n＾2)より、xとyが有理数になる事を証明する。

この証明を、どうするか？　この方法で良いのか、駄目か？

お礼

回答ありがとうございます
x＝(1-t＾2)/(1+t＾2)＝(m＾2-n＾2)/(m＾2+n＾2)、y＝(2t)/(1+t＾2)＝(2mn)/(m＾2＋n＾2)より、xとyが有理数になる事を証明する。
このことについては、m,nは自然数だから、x,yは有理数としてもよいように思いました。
任意の有理数解(x,y)と任意のtは同じことなのかとちょっと考えました。

回答No.2

naniwacchi

#1です。

＞a^2- b^2＝ k^2　から(a- b)/k＝ k/(a+ b)
＞として、a,bをtで表すところの流れは、思いつかない変形だと思いました。

そうですよね。
過去にピタゴラスの定理の式をこのように変形したことがあって、
それを思い出しただけでなので。＾＾；

「もっとスマートに導けるかもしれませんが」と書いたのは、まさにこの部分についてです。
もうちょっと素直な流れで示すことができれば、いいのですが・・・

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。

背理法となると、
＞x=(1-t^2)/(1+t^2),y=2t/(1+t^2) (tは0=<t=<1,有理数)
（質問文では、tと xが間違っていましたね ＾＾；）

の否定を考えることになって、難しそうですね。

もともとの条件式が円の一部を表していることから、素直に始めれば導けると思います。
つまりは、(x, y)＝ (cosθ, sinθ)（0≦θ≦π/2）から始めるということです。

・いまの問題では、cosも sinも有理数になるときを考えないといけないので、
まず、cosθ＝ b/a（aと bは互いに素で、a≧ b≧ 0）とおいてしまいます。

・このとき、sinθも有理数として表されなければなりません。
が、sinθ＝√(a^2- b^2)/ aとなるので、分子が有理数（整数）にならないといけません。

・そこで、a^2- b^2＝ k^2（k≧ 0なる整数）とおくことにします。
この式を少し変形すると
(a- b)/k＝ k/(a+ b)

と変形できます。
これは「比」の式の形になっているので、比の値を tとおけば tは有理数で・・・
（ここは、ピタゴラス数を扱うときに使う比と本質的には同じですね。）

もっとスマートに導けるかもしれませんが、「有理数であることを要請する」ところは変わらないと思います。

tan(θ/2)＝ tとおいたときに、
cosθとsinθがどう表されるかというところが元になっている問題だと思います。

お礼

回答ありがとうございます
x=(1-t^2)/(1+t^2),y=2t/(1+t^2) (tは0=<t=<1,有理数)
訂正有り難うございます。
回答をみて、すべての解をもとめることは、どうすればいいのか
のとらえ方が不十分だったと思いました。
a^2- b^2＝ k^2　から(a- b)/k＝ k/(a+ b)
として、a,bをtで表すところの流れは、思いつかない変形だと
思いました。