円の重ね合わせ（階差数列）

質問

１つの円は１領域
２つの円を重ねると３領域
３つの円を重ねると７領域
４つの円を重ねると13領域

n個の円を重ねると領域は何個できますか？とういう問題なのですが。
階差数列を導いて、求めてるのですが、そんなことはどうでもよくて。
疑問なのは、
nが5以上の時、円の重ね方をどのようにすればいいのかなと思いました。
問題では、1つの円、2つの円、3つの円まで、図が書いてあり、集合論でよく使う一般的なベン図でした。
説明下手ですいませんが、誰かわかる方教えてください。

回答No.2

ltx78 · ベストアンサー

図の描き方は基本的にはANo.1の方がおっしゃった通りです．
一応，コンピュータを使って図を描くための方法を書いてみます．
この方法は，gnuplotというソフトを使います．
このソフトに心当たりがないようでしたら，申し訳ありませんがご自分でインストールなどを行うか，私の回答を読み流してください．
ANo.1の方のやり方を模倣しているだけですので．

以下，gnuplotへの入力です．

set size square
set xrange [-2 : 2]
set yrange [-2 : 2]
set parametric
set trange [0 : 2 * pi]
r = 0.5
fx(t, m, n) = cos(t) + r * cos(2 * m * pi / n)
fy(t, m, n) = sin(t) + r * sin(2 * m * pi / n)

まずここまで入力してください．
適当なテキストファイルに保存して，loadしても結構です．

3つの円を表示する場合，
plot fx(t,0,3),fy(t,0,3), fx(t,1,3),fy(t,1,3), fx(t,2,3),fy(t,2,3)
のように入力してください．
典型的な，3つの円が重なったベン図のような図が描かれるはずです．
4つの円の場合は，
plot fx(t,0,4),fy(t,0,4), fx(t,1,4),fy(t,1,4), fx(t,2,4),fy(t,2,4), fx(t,3,4),fy(t,3,4)
とすればOKです．

n個の円の場合は，
plot fx(t,0,n),fy(t,0,n), fx(t,1,n),fy(t,1,n), ..., fx(t,n-1,n),fy(t,n-1,n)
としてください．
途中省略していますが，その部分もきちんと入力する必要があります．

私がやってみたところ，10個くらいまではきちんと描かれているように見えました．
それ以上でも描けないことはないのですが，綺麗な（全ての領域を見分けられる）図を描くのは難しそうです．

お礼

>>ltx78さん
返信遅れてすいません。
gnuplotをインストールし、言われた通りにすると、確かに綺麗なベン図ができました。円にも、色わけがありわかりやすかったです。
これからgnuplotを使いこなせるように挑戦したいと思います。
勉強するきっかけを頂き、本当にありがとうございました。

回答No.1

keita173

手元にコンパスが無いので確認出来なくて申し訳ないのですが、
こうすれば出来るのではないか？と言う方法を一つ……。
出来なかったらごめんなさい。

まず、正n角形を書きます。
その正n角形を内接させる円の半径よりも少し大きな半径で、
正n角形の全ての頂点から円を書きます。

そーすると出来るような……。

実際のサイズ等は試行錯誤してみてください。

お礼

ありがとうございます。コンパスと分度器を使い、頑張ってみると、出来上がりました。試行錯誤し、とても楽しい時間を過ごせました。感謝しています。