数B 数列

質問

次の数列の第ｎ項を求めよ。ただし、1<=n<=9とする。

1,12,123,1234,・・・・・

この問題がわかりません。教えてください。公差が11,111,111,1111,・・・と増えていく階差数列？ですか？

回答No.3

島崎 崇（@tadopika）

No.2です。
少し訂正があります。

a(n)を求める過程で、「n>=2の場合」という条件が抜け落ちていました。
そして、最後に求められたa(n)について、n=1の場合も当てはまることを確認します。
a(1)=(10^2-9-10)/81=1

正解に辿り着いても、答案でこれらを書き忘れると、若干の減点対象となります。

お礼

回答、ありがとうございます。

回答No.2

島崎 崇（@tadopika）

面白い数列ですね。

あなたが気付いたように、公差の規則性に着目して、
a(n)-a(n-1)=1+10+...+10^(n-1)

ここから、
9a(n)-9a(n-1)=10^n-1
9a(n-1)-9a(n-2)=10^(n-1)-1
..................
9a(2)-9a(1)=100-1

上記(n-1)個の式の辺々加えると、
9a(n)-9a(1)=10^n+10^(n-1)+...+100-(n-1)
9a(n)-9a(1)=(10^(n+1)-100)/9-n+1
a(1)=1を代入して計算すると、
a(n)=(10^(n+1)-9n-10)/81 （答）

尚、1~9以外のnについても、上式は定義可能です。
例えば、a(10)=1234567900 となります。
又、a(0)=0, a(-1)=0, a(-2)=0.1
と、nが負の整数の場合も計算できます。
n=11以上、n=-3以下についても求めてみてください。

回答No.1

spring135

a(n)=Σ(i=1,n)[i×10^(n-i)]

n=1,2,...9