数B 階差数列の問題

質問

問題集で解説を見ても分からない問題がありました。どなたか教えてください。

問題：階差数列の階差数列をとることで、次の数列の一般項を求めよ。
（１）１，２，４，９，１９，３６，・・・・・・
（２）１，－１，－２，－６，－１，－２３，３６，・・・・・・

元の数列をAnとおいて、Cｎ（階差数列の階差数列）からBn（階差数列）を求めるとこまでは分かるのですが・・・

回答No.2

asuncion · ベストアンサー

Q1.
{An} = 1, 2, 4, 9, 19, 36, ...
{Bn} = 1, 2, 5, 10, 17, ...
{Cn} = 1, 3, 5, 7, ...

B2 = B1 + C1
B3 = B2 + C2 = B1 + C1 + C2
B4 = B3 + C3 = B1 + C1 + C2 + C3
...
Bn = B1 + (k=1～n-1)ΣCk

また、
Cn = 2n - 1
よって、n ≧ 2において、
Bn = B1 + (k=1～n-1)Σ(2k-1)
= 1 + n(n-1) - n + 1
= n^2 - 2n + 2 ... (1)
B1 = 1 = 1^2 - 2 + 2であるから、
(1)はn ≧ 1で成り立つ。
∴Bn = n^2 - 2n + 2

A2 = A1 + B1
A3 = A2 + B2 = A1 + B1 + B2
A4 = A3 + B3 = A1 + B1 + B2 + B3
...

n ≧ 2において、
An = A1 + (k=1～n-1)ΣBk
= A1 + (k=1～n-1)Σ(k^2 - 2k + 2)
= 1 + n(n-1)(2n-1)/6 - n(n-1) + 2(n-1)
= n(n-1)(2n-1-6)/6 + 2n - 1
= n(n-1)(2n-7)/6 + 2n - 1 ...(2)
A1 = 1 = 2 - 1であるから、
(2)はn ≧ 1で成り立つ。
∴An = n(n-1)(2n-7)/6 + 2n - 1

お礼

とてもわかりやすいです。
ありがとうございます。
もう一度、問題を解いてみます。

回答No.4

yyssaa

（２）だけです。
＞A_n(1,-1,-2,-6,-1,-23,36,・・・・・)
B_n=A_n+1-A_n(-2,-1,-4,5,-22,59,・・・・・)
C_n=B_n+1-B_n(1,-3,9,-27,81,・・・・・)
C_n=(-3)^(n-1)
B_n+1-B_n=C_n=(-3)^(n-1)
B_n-B_n-1=(-3)^(n-2)・・・・・(1)
B_n-1-B_n-2=(-3)^(n-3)・・・(2)
B_n-2-B_n-3=(-3)^(n-4)・・・(3)
・・・・・・・・・・・・・・・・
B_3-B_2=(-3)^(1)・・・・・・・・・(n-2)
(1)～(n-2)の辺々加える
B_n-B_2=(-3)^(n-2)+・・・+(-3)^1=(-3)*{1-(-3)^(n-2)}/4
={-3-(-3)^(n-1)}/4
B_2=-1だから
B_n={-3-(-3)^(n-1)}/4-1={-7-(-3)^(n-1)}/4
A_n+1-A_n=B_n={-7-(-3)^(n-1)}/4
A_n-A_n-1={-7-(-3)^(n-2)}/4・・・・・[1]
A_n-1-A_n-2={-7-(-3)^(n-3)}/4・・・[2]
A_n-2-A_n-3={-7-(-3)^(n-4)}/4・・・[3]
・・・・・・・・・・・・・・・・
A_3-A_2={-7-(-3)^1}/4・・・・・・・・・・・[n-2]
[1]～[n-2]の辺々加える
A_n-A_2={-7-(-3)^(n-2)}/4+{-7-(-3)^(n-3)}/4
+{-7-(-3)^(n-4)}/4+・・・+{-7-(-3)^1}/4
=(1/4)[-7*(n-2)-{(-3)+(-3)^2++・・・+(-3)^(n-2)}]
=(1/4)[-7*(n-2)-{-3-(-3)^(n-1)}/4]
={-28n+59+(-3)^(n-1)}/16
A2=-1だから
A_n={-28n+59+(-3)^(n-1)}/16-1
={-28n+43+(-3)^(n-1)}/16・・・答

お礼

丁寧な説明ありがとうございます。

回答No.3

asuncion

＞∴An = n(n-1)(2n-7)/6 + 2n - 1

もっと整理して、
An = ((n^2-n)(2n-7)+12n-6)/6
= (2n^3-9n^2+19n-6)/6
の方がいいかな？

回答No.1

noname#194536

階差数列というヒント自体がチートなんですが、それが分かるならば、階差分を見極めればいいだけやね。

問1は、教科書レベルです。わからなければ、学校で相談しましょう。これ以上はカンニングになるので、ヒントしか記載できないwww

お礼

早速の回答ありがとうございます。