商環（剰余環）の基本について。

質問

剰余環の基本事項についてです。
よろしくお願いします。

環R、イデアルJとして剰余環R/Jとします。
さらにa,b∈R、j_1,j_2,j_3∈J、<a>＝a+Jとします。

本題ですが、
「<ab>＝ab+Jの任意の元(ab+j_1)が<a><b>＝(a+J)(b+J)の元である」ことを証明したいのです。

つまり
「ab+j_1＝・・・・・＝(a+j_2)(a+j_3)∈(a+J)(b+J)」
の「＝・・・・・＝」の部分を埋めたいのです。

ヒントだけでもよいので、よろしくお願い致します。

回答No.3

ojisan7 · ベストアンサー

類の積<a><b>を
<a><b>=<ab>
と定義したのですが、これが類の代表元の選び方に依存しない
(well-defined)ことは容易に示せますね。したがって、この定義は一
意的であり、矛盾点を含みませんから、それ以上何も証明を必要とし
ません。
しかし、質問者さんは、この逆を質問しようとしているのではないか
と思います。
すなわち、類<ab>に属する任意の元が類<a><b>に属するかどうかとい
うことですね。質問者さんの心配する気持ちは分かります。でも、こ
れは証明する必要がありません。これは<a><b>の定義から明らかです。
つまり、
ab+j∈(ab+J)=(a+J)(b+J)
ですよね。

回答No.8

ojisan7

No7の回答は撤回します。

類の積の定義、
<a><b>=<ab>
は代表元の選び方に依存しませんし、矛盾点を含みませんから、
これ以上何も証明を必要としません。しかし、集合としてみたとき、(a+J)(b+J)>⊆(ab+J)は容易に示せますが、
(a+J)(b+J)>⊇(ab+J)を示すことは困難です。
一般的に(a+J)(b+J)>⊇(ab+J)は成り立ちません。たとえば、整数環Ｚ
のイデアルを８Ｚとしたとき、
a=2,b=4の場合はどうでしょうか、jを任意の整数としたとき、
2*4+8*j=(2+8*J_1)(4+8*j_2)
となる整数j_1,j_2が存在するかどうかです。j=1の場合を考えてみれ
ば明らかですよね。

ということで、集合として<a><a>>⊆<ab>ですが、<a><a>⊇<ab>は成り立ちません。しかし、類の積としての定義
<a><b>=<ab>は矛盾を含みませんので、商環R/Jに積が矛盾なく定義されたことになります。

お礼

とても詳しい御回答どうもありがとうございます。
お陰様でだんだん分かってきた様な気がします。

『(a+J)、(b+J)に対して(ab+J)が一意的に決まる。
ゆえに(a+J)(b+J)＝(ab+J)とすることできる。』

みたいな感じで理解しておくことにしました。

この度は何度も御回答どうもありがとうございました。

回答No.7

ojisan7

No3です。No3の繰り返しになるかもしれませんが・・・

>「<ab>＝ab+Jの任意の元(ab+j_1)が<a><b>＝(a+J)(b+J)の元である」ことを証明したいのです。

これは定義から明らかです。証明の必要はありません。

>「ab+j_1＝・・・・・＝(a+j_2)(a+j_3)∈(a+J)(b+J)」
の「＝・・・・・＝」の部分を埋めたいのです。

それはできません。また、「＝・・・・・＝」の部分を埋める必要はないと思います。
しかし、j_2とj_3が存在することは定義によって保証されています。

補足

再度のご回答どうもありがとうございます。

私の使っている本でも定義となっておりました。

私が気になっておりますのは剰余環は環ですから、
加法<a>+<b>＝<a+b>
乗法<a><b>＝<ab>
が定義されているわけですが、
加法の『<a>+<b>＝<a+b>』は
(a+J)+(b+J)＝(a+b)+J、としっかり証明されているにもかかわらず
乗法に関してはその証明がよく分からないという点です。

「乗法<a><b>＝<ab>は定義なので証明は必要ない」とのことですが、
これは定義なので『<a><b>＝<ab>』の証明はできないということでしょうか？
（そうするとNo.2さんの
<ａｂ>＝ａｂ+Ｊ＝ａｂ+ａＪ+ｂＪ+Ｊ＝(ａ+Ｊ)(ｂ+Ｊ)＝<ａ><ｂ>
の式はやはり間違いなのでしょうか？）

乗法<a><b>＝<ab>においても
<a><b>⊆<ab>は証明できたのですが、（<a>∋a+j_1として元に直して証明しました。）
<a><b>⊇<ab>が証明できません。

<a><b>⊇<ab>が証明できないのはそれは「定義だから」ということでしょうか？

回答No.6

arrysthmia

訂正：済みません。
No.4 は、非常に間違ったことを書いたので、全面的に無視してください。

補足

わざわざご丁寧に訂正ありがとうございます。

引き続き回答受付中ですので、何か分かりましたらよろしくお願いします。

回答No.5

koko_u_

勝手に推察するに、
質問者さんは <ab> = <a><b> であることを「わかった」上で、
では j1 ∈ J に対して ab + j1 = (a + j2)(b + j3) なる j2, j3 ∈ J が「求まるだろう」
と考えて質問してるんだと思うのさ。

しかし数学ではよくあることに、
「存在すること」と「その元が具体的に求まること」は同じではないのです。

補足

再びのご投稿どうもありがとうございます。

すみません、私が分からないのは
ずばり『<ab> = <a><b>』の式の証明なのです。

（No.2さんの
<ａｂ>＝ａｂ+Ｊ＝ａｂ+ａＪ+ｂＪ+Ｊ＝(ａ+Ｊ)(ｂ+Ｊ)＝<ａ><ｂ>
の式が合っていればよいのですが、どうでしょうか？）

以下No.7さんの補足と重複になりますが、

剰余環は環ですから、
加法<a>+<b>＝<a+b>
乗法<a><b>＝<ab>
が定義されているわけですが、
加法の『<a>+<b>＝<a+b>』は
(a+J)+(b+J)＝(a+b)+J、としっかり証明されているにもかかわらず
乗法に関してはその証明がよく分からないという点です。

乗法<a><b>＝<ab>においても
<a><b>⊆<ab>は証明できたのですが、（<a>∋a+j_1として元に直して証明しました。）
<a><b>⊇<ab>が証明できません。

『<a><b>⊇<ab>』の証明は元<a+b>∋a+j_1を利用しての証明は無理との
ご指摘ですが、
他の方法を用いれば『<a><b>＝<ab>』の証明はできるのでしょうか？
それとも『<a><b>＝<ab>』自体定義なので証明できないのでしょうか？

よろしくお願い致します。

回答No.4

arrysthmia

＞ の「＝・・・・・＝」の部分を埋めたいのです。

与えられた a, b, j_1 に対して
ab + j_1 = (a + j_2)(b + j_3) となる j_2, j_3 を見つけたい
という話なら、j_2 = j_1, j_3 = 0 で十分なはずです。
R は、可換環ですね？

回答No.2

uzumakipan

こんばんは。<ａｂ>＝<ａ><ｂ>を示したいなら、Ｊがイデアルである事を利用して

<ａｂ>＝ａｂ+Ｊ＝ａｂ+ａＪ+ｂＪ+Ｊ＝(ａ+Ｊ)(ｂ+Ｊ)＝<ａ><ｂ>

という示し方でよいのでは？

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

私もイデアルJを元j_1とせずにJのまま処理することも考えたのですが、
「ａｂ+ａＪ+ｂＪ+Ｊ＝(ａ+Ｊ)(ｂ+Ｊ)」の因数分解が気になっております。
これの成立は明らか、もしくは証明できるのでしょうか？

回答No.1

koko_u_

>ヒントだけでもよいので
その方針ではムリ。

お礼

いつもお世話になっております。
今回もどうもありがとうございます。

やはりこの方法だと無理なのですか・・・。
No.2さんのようにイデアルJを元に置き換えずにJのまま処理するのでしょうか・・・？