整数環等について

質問

(1)
Gaussの整数環
Z[√(-1)]={a+b√(-1)|a,b∈Z}
の元α,βに対し、β≠0ならば
|α/β-γ|＜1···(#)
を満たすγ∈Z[√(-1)]が存在することを示せ

(2)
(1)を用い、Z[√(-1)]が単項イデアル環になることを示せ

ヒント
(#)より
|α-βγ|＜|β|
⇒α=βγ+δ、|δ|＜|β|
(δ=α-βγ)
割り算ができる

解き方がわかりません！
助けてください！

回答No.1

26803TT519

(1) α/β = a + ib とすれば、
-1/2 ＜ m - a ≦ 1/2, -1/2 ＜ n - b ≦ 1/2 を満たす整数 m, n が定まります。
γ をどう取ればいいですか。

(2) Z[i] がユークリッド環であることをきちんと証明すれば、あと一息です。