環について

質問

F[X]は体F上の一変数多項式環とする。記号の簡略化のため、多項式f(X)∈F[X]が
生成するF[X]のイデアルをJ_fと表すことにする。
(a) F[X]の任意のイデアルは一元で生成される。
(b) f(X)∈F[X]がF上既約で、Fのある拡大体Lの元αについてf(α)=0であるとする。
このとき、F(α) ＝~_F F[X]/J_fである。
(＝~_F はFの元は動かさないで=~であるとする。)

（１）
(b)においてＦ上既約という仮定を省くと、どのようなことが起こるか。例でもよい。

（２）
多項式f(X),g(X)∈F[X]についてJ_f = J_gとなるための必要十分条件を求めよ。
必要条件を考え、それが十分条件にもなっていることを確認せよ。

（３）
f(X),g(X)∈F[X]に対して標準的な環準同型
　φ:F[X]→F[X]/J_f＋F[X]/J_g , γ→(γ+J_λ, γ+J_μ)
が考えられる。
もし、f(X),g(X)が互いに素（つまり、これらが生成するイデアルがF[X]に一致する。）
ならば、φが全射であることを示せ。また、そのとき、準同型定理から得られる同型を求めよ。
※(1+J_λ,0), (0,1+J_μ)∈F[X]/J_λ＋ F[X]/J_μに移る元が存在すれば、全射がわかる。
　ただし、Ｆの単位元を1とした。

全然わかりません。わかる方いたらお願いします。

回答No.3

sunflower-san

誤植ありました。画像(2/2)の4行目、
×　g={0}でないといけない
○　g=0でないといけない

他にも、画像が不明瞭で分からない、説明がいまいち分からないなどの箇所があればご指摘ください。

回答No.2

sunflower-san

画像(2/2)

回答No.1

sunflower-san

あまりに数式が打ちにくいので、pdfにして分割してjpeg画像に変換しています。画像ファイルの解像度はかなり劣化させられてしまうので、見にくい場合はお伝えください。画像(1/2)