単項イデアル環であることの証明

質問

次の問題なんですが、
「単元でも素元でもないａ∈Ｚ－{０}に対して、Ｚ/(a)は単項イデアル環であることを示せ。(自然な射影　　f：Z→Z/(a)を考えよ)」（Zは整数環で可換、ユークリッド聖域、結果として単項イデアル聖域であることを認める。）

これで、まず剰余類環Z/(a)から元を取ってきたら、それはａ＋（ａ）となり、それが単項イデアルになるということを示せばいいのでしょうか？そうすると、明らかにａ＋（ａ）＝｛ａ＋ｋａ｜ｋ∈Ｚ｝＝（ａ）となる。という感じではいけないのでしょうか？よろしくお願いします。

回答No.3

waseda2003 · ベストアンサー

>Z/(a)が単項イデアル環であることとIが単項イデアルということは同値なのはなぜですか？

同値というのは意味不明ですが，IはZ/(a)の任意のイデアルとしたのですから，それが単項ならZ/(a)は単項イデアル環です。（定義ですね。）

>なぜJがイデアルならばIが単項イデアルなことがいえるのでしょうか？

Zは単項イデアル環ですから，Jがイデアルであることさえ言えれば，Jは単項イデアルです。I=f(J)なのですから，そのときIも単項イデアルです。

お礼

すみません、ありがとうございました。定義を調べてみたいと思います。またなにかつまったりしたら質問します。宜しくお願いします。

補足

一応証明したのですが、どこでａが効いてくるのかがわかりません。
自分の証明：(1)ｘ、ｙ∈Ｊとして、ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）∈Ｉ（なぜなら、ｘ、ｙ∈Ｊより、ｆ（ｘ）、ｆ（ｙ）∈Ｉ、Ｉはイデアル）よってｘ＋ｙ∈Ｊ
(2)ｘ∈Ｚ、ｙ∈Ｊとして、ｆ（ｘｙ）＝ｆ（ｙ）＋ｆ（ｙ）＋ｆ（ｙ）＋・・・・＋ｆ（ｙ）（全部でｘこ）∈Ｉ。よってｘｙ∈Ｊ
これより、Ｊはイデアル。よってこれは単項イデアルであり、ｆは全射より、ｆ（Ｊ）＝Ｉで、Ｉも単項イデアル。ゆえに、任意のイデアルが単項イデアルより、Ｚ／（ａ）は単項イデアル環。
てなかんじなんですが、どうでしょうか？

回答No.2

waseda2003

質問文の後半で述べていることですが，集合としてa+(a)と(a)は同じものですから，証明になっていないのではないでしょうか。剰余類群を論じるときは，集合を丸ごと考えるのではなく，代表元を考えるのが基本です。

IをZ/(a)の任意のイデアルとして，fによるその逆像（Zの部分集合）をJとします。すなわち

J={n∈Z|f(n)∈I}

Zは単項イデアル環であることはわかっていますから，Iが単項イデアル環であることを示すには，Jがイデアルであることを示せば十分です。

補足

回答ありがとうございます。
質問ですが、なぜJがイデアルならばIが単項イデアルなことがいえるのでしょうか？また、そもそもZ/(a)が単項イデアルであることとIが単項イデアルということは同値なのはなぜですか？すみません、おねがいします。

回答No.1

jmh

商のイデアルは、そのｆでの逆像の生成元のｆでの像で、生成できそうな気がします。