環の直積のイデアルについて

質問

A、Bが環である時、A×BのイデアルはI×J　（ただし、IとJはそれぞれAとBのイデアル）という形で書けますか？
もしそうなら証明も教えください。
よろしくお願いします。

回答No.2

ramayana · ベストアンサー

単位元がない環の場合、次が反例になりそうです：

　　gを2以上の整数として、
　　A = B = gZ　（gで割り切れる整数全体)
　　K = <(g, g)>　（(g, g)で生成されるイデアル）

Kは、次のように書くこともできます：

　　[1] 　K = {(a, b) | a≡b≡0 mod g, a≡b mod g^2 }

もし、K = I×Jなら、

　　[2] 　I = { a | (a, 0)∈K }
　　　　　J = { b | (0, b)∈K }

なので、[1]により、

　　I = (g^2)Z
　　J = (g^2)Z
　　　（g^2で割り切れる整数全体）

でなければなりません。すると、I×Jに(g, g)が含まれないことになり、矛盾です。

[1]と[2]は、それほど自明でないかもしれませんが、証明できると思います。

お礼

常に成り立つだろうと思っていたのですが、単位元が存在しない場合は反例が存在したのですね。
丁寧に書いてくださって大変よくわかりました。
ありがとうございました。

回答No.1

ramayana

KがA×Bの左イデアルなら、

　　K = ( A×{0})K × ({0}×B)K

になりませんか？

お礼

ありがとうございます。
( A×{0})Kとか( A×{0})Kっていうのはそれぞれ第一成分、第二成分だけ見たものという意味ですよね。
言われてみればA、Bが乗法の単位元を持つ時は確かにそうなりますね。
ですが、そうでないときK⊂( A×{0})K × ({0}×B)Kが言えない気がするのですがどうでしょうか。