超幾何分布

質問

超幾何分布と二項定理について教えてください
(1+x)^(m+n)
=(1+x)^m*(1+x)^n
=Σ{i=0～m}mCi*x^i*Σ{j=0～n}nCj*x^j
=Σ{i=0～m}*Σ{j=0～n}nCj*mCi*nCj*x^(i+j)

(1+x)^(m+n)=Σ{m=0～m+n}(m+n)Cm*x^m
に持って行きたいのですが、問題の３つ目の＝から先が理解できません。
シグマ二つをどう処理すればよいのでしょうか？
アドバイスいただけませんか。
よろしくお願いいたします

回答No.3

kumipapa · ベストアンサー

どういう順でお答えするのが良いでしょう・・・。

まず最初に、
＞　Σ(k=0～p) (m Ｃ k) (n Ｃ (p-k)) = (m+n) Ｃ p
＞　というのは公式なんですか？当たり前のように使用していいものなのでしょうか？
私は当たり前として良く使います。説明するとなると、#2 でお答えしたように説明されることが多いのではないかと思うのですが、逐一説明する必要は無いでしょう。

＞　Am = Σ(i=0～m) (m Ｃ i) (n Ｃ m-i)　のΣ(i=0～m) が残るのはどうしてでしょうか。
＞　この問題においては、i=kのときをさしていると思うので、
＞　Am=(mCk)(nCm-k)かと思ってしまったのですが・・
まず、(1 + x)^(m+n) において x^m の係数を Am とすると、
Am = (n + m) Ｃ m　・・・(1)
は良いですね。
これと、(1 + x)^m (1 + x)^n の　x^m の係数とは一致するはずですよね。
(1 + x)^m (1 + x)^n
= (mＣ0 + mＣ1 x + ... + mＣm-1 x^(m-1) + mＣm x^m) (nＣ0 + nＣ1 x + ... + nＣn-1 x^(n-1) + nＣn x^n)
この計算で得られる x^m の係数は、左の括弧の x^k の項と 右の括弧の x^(m-k) の項の積を k=0 ～ m で加算したものになることは分かりますか？
つまり、左の括弧の x^0 の項と右の括弧の x^m の項の積と、左の括弧の x の項と右の括弧の x^(m-1) の項の積と、・・・左の括弧の x^k の項と右の括弧の x^(m-k) の項の積と、・・・左の括弧の x^m の項と右の括弧の x^0 の項の積とを全て加算したのが、(1 + x)^m (1 + x)^n の x^m の項になるのです。そうして得られるx^m の係数が、Σ(k=0～m) { (m Ｃ k) (n Ｃ (m-k)) } です。
これが、(1) で求めた x^m の係数 Am と等しいのだから、
Σ (i=0～m) {(m Ｃ i) (n Ｃ m-i)} = (m+n) Ｃ m

これがどうしても分からなければ、具体的に数字を入れて自分で手を動かしてみる。
m=2, n=3 とすると、(1+x)^5 の x^2 の項の係数 5Ｃ2 = 10 。
一方で、
(1 + x)^5 = (1+x)^2 (1+x)^3
= (2Ｃ0 + 2Ｃ1 x + 2Ｃ2 x^2) (3Ｃ0 + 3Ｃ1 x + 3Ｃ2 x^2 + 3Ｃ3 x^3)
これを展開して得られる x^2 の項は、
左括弧の x^0 の項(2Ｃ0) と　右括弧の x^2 の項（ 3Ｃ2 x^2) の積　= 2Ｃ0 3Ｃ2 x^2
左括弧の x^1 の項(2Ｃ1 x) と　右括弧の x^1 の項（ 3Ｃ1 x) の積　= 2Ｃ1 3Ｃ1 x^2
左括弧の x^2 の項(2Ｃ2 x^2) と　右括弧の x^0 の項（ 3Ｃ0) の積　= 2Ｃ2 3Ｃ0 x^2
のこれら全ての和だから、x^2 の係数は Σ(k=0～2) { 2Ｃk * 3Ｃ(2-k) }
です。これが (1 + x)^5 の x^2 の係数 5Ｃ2 なんだから、
Σ(k=0～2) { 2Ｃk * 3Ｃ(2-k) }　= 5Ｃ2
ってことです。

＞　Σ(k=0～m)（ｍCk)(nCm-k)＝m+nCmとなり、両辺をm+nCmで割るのだと思いますが、
＞　割るときにm+nCmはシグマのなかに入れてしまっていいのでしょうか？
Σ(k=0～m) P(X = k)
= Σ(k=0～m) [ {ｍＣk*nＣ(m-k)} / (m+n)Cm ]
= (1 / (m+n)Ｃm) Σ(k=0～m) {ｍＣk * nＣ(m-k)}　　(∵　(m+n)Ｃm は k とは無関係に定数 )
= (1 / (m+n)Ｃm) ((m+n) Ｃ m)　　　（∵　Σ(k=0～m) {ｍＣk * nＣ(m-k)} = (m + n) Ｃ m ）
= 1

ラストアンサーでいい？

お礼

理解できました！！
事細かに丁寧にお教えいただいて本当に助かりました。
もう一度自分で考えて、モノにできるようにしてみます。
本当にありがとうございました。

回答No.2

kumipapa

問題は分かりました。

＞　(1+x)^(m+n)
＞　=(1+x)^m*(1+x)^n
＞　=Σ{i=0～m}mCi*x^i*Σ{j=0～n}nCj*x^j
＞　=Σ{i=0～m}*Σ{j=0～n}nCj*mCi*nCj*x^(i+j)
ここでなぜ n Ｃ j が 2 度出てくる（n Ｃ j を2乗している）のですか？

＞　(1+x)^(m+n)=Σ{m=0～m+n}(m+n)Cm*x^m
＞　で分母の部分を作って、
細かいようですが、相変わらず、右辺で m が混乱しています。
(1+x)^(m+n)=Σ{k=0～m+n}(m+n)Ck*x^k
ですね。

さて本題。
＞　P(X＝ｋ)＝{ｍCk*nC(m-k)}/(m+n)Cm　であるとき、
確かに超幾何分布です。
m個の不良品、n個の良品、合わせてm+n個の製品の中からm個を取り出したとき、そのm個の中にｋ個の不良品が含まれている確率です。
ここで、
Σ(k=0～m)P(X=k) = Σ(k=0～m) { (m Ｃ k) (n Ｃ (m-k) } / ((m+n) Ｃ m) = 1
を示せというわけですね。
まず
Σ(k=0～p) (m Ｃ k) (n Ｃ (p-k)) = (m+n) Ｃ p
というのは、今まで使ったことはないですか？
m+n 個の物から p 個の物を取り出す場合の数は (m+n) Ｃ p であるが、これは、m+n 個の物を m 個のグループ A と n 個のグループ B の２つにわけ、
グループ A から 0 個と グループ B から p 個を取り出して組み合わせる場合　m Ｃ 0 × n Ｃ p 通り
グループ A から 1 個と グループ B から p-1 個取り出して組み合わせる場合　m Ｃ 1 × n Ｃ p-1 通り
グループ A から 2 個と グループ B から p-2 個取り出して組み合わせる場合　m Ｃ 2 × n Ｃ p-2 通り
・・・
グループ A から p 個と グループ B から 0 個取り出して組み合わせる場合　m Ｃ p × n Ｃ 0 通り
の場合の数を全て足した数と等しい。
∴　Σ(k=0～p) (m Ｃ k) (n Ｃ (p-k)) = (m+n) Ｃ p
この問題の場合は、p=m だから
Σ(k=0～m) (m Ｃ k) (n Ｃ (m-k)) = (m+n) Ｃ m
∴　Σ(k=0～m) P(X=k) = Σ(k=0～m) { (m Ｃ k) (n Ｃ (m-k) } / ((m+n) Ｃ m) = 1

数式で示すならば、質問者さん流を踏襲してみますが、(1+x)^(m+n) の一般項をごちゃごちゃいじっても仕方がない。問題なのは、x^m の項の係数だけなんだから計算のターゲットはそこに絞りましょう。

(1 + x)^(m + n) = Σ(k=0～m+n) ((m+n) Ｃ k) x^k
より、(1 + x)^(m+n) の x^m の係数は (m+n) Ｃ m　・・・(1)
一方で、
(1 + x)^(m+n)
= (1 + x)^m (1 + x)^n
= ( Σ(i=0～m) m Ｃ i x^i ) ( Σ( j =0～n) n Ｃ j x^j)
ここで x^m の係数を Am としてそれのみを計算すれば
（上式の左側括弧の x^i の項の係数と 右側括弧の x^(m-i) の項の係数との積を i=0～mで加算すればよいから）
Am = Σ(i=0～m) (m Ｃ i) (n Ｃ m-i)　・・・　(2)
(1), (2) より
Σ(i=0～m) (m Ｃ i) (n Ｃ m-i) = (m+n) Ｃ m
∴　Σ(k=0～m) P(X=k) = Σ(k=0～m) { (m Ｃ k) (n Ｃ (m-k) } / ((m+n) Ｃ m) = 1

なお、
if p≧q,　p Ｃ q = p!/(q! (p-q)!)
otherwise, p Ｃ q = 0
としています。念のため。

お礼

＞　(1+x)^(m+n)
＞　=(1+x)^m*(1+x)^n
＞　=Σ{i=0～m}mCi*x^i*Σ{j=0～n}nCj*x^j
＞　=Σ{i=0～m}*Σ{j=0～n}nCj*mCi*nCj*x^(i+j)
ここでなぜ n Ｃ j が 2 度出てくる（n Ｃ j を2乗している）のですか？
打ち間違えです・・すみません。

ご丁寧にありがとうございます！
ひとつ質問なのですが、
Am = Σ(i=0～m) (m Ｃ i) (n Ｃ m-i)
のΣ(i=0～m) が残るのはどうしてでしょうか。
この問題においては、i=kのときをさしていると思うので、
Am=(mCk)(nCm-k)かと思ってしまったのですが・・
基本的なことかもしれませんがご教授ください。

あと、
Σ(k=0～p) (m Ｃ k) (n Ｃ (p-k)) = (m+n) Ｃ p
というのは公式なんですか？当たり前のように使用していいものなのでしょうか？

たびたびで申し訳ありませんが、よろしくお願いいたします。

補足

質問者です。
先ほどお礼で、質問をさせていただいたのですが、
すみませんが、もう１点あるので補足に書かせていただきました。

(1)(2)より、
Σ(k=0～m)（ｍCk)(nCm-k)＝m+nCmとなり、両辺をm+nCmで割るのだと思いますが、
割るときにm+nCmはシグマのなかに入れてしまっていいのでしょうか？
というかこのシグマはどこに対するシグマかがわかりません・・

申し訳ありません・・お教えください。

回答No.1

kumipapa

＞ (1+x)^(m+n)=Σ{m=0～m+n}(m+n)Cm*x^m に持って行きたいのですが・・・
式をよーく見てください。右辺の m が混乱しています。{ m=0 ～ m+n } ってことは、m は変数? 定数? 何者ですか？

もともとが、普通に二項定理で
(1 + x)^(m+n) = Σ[i=0,m+n] ((m+n) Ｃ i) x^i
ですよね。何を主張したくて、(1 + x)^(m+n) を考えたのか、さらにそれをなぜ (1 + x)^m (1 + x)^n と分けて展開しはじめる必要があったのかが良く分かりません。最終目標が何なのか、補足していただけませんか？超幾何分布と関係があるなら、超幾何分布の何を示したいのでしょうか？

補足

P(X＝ｋ)＝{ｍCk*nC(m-k)}/(m+n)Cm　であるとき、
Σ{k=0～m}P(X=k)=1を示せ。

なのですが、
(1+x)^(m+n)
=(1+x)^m*(1+x)^n
=Σ{i=0～m}mCi*x^i*Σ{j=0～n}nCj*x^j
=Σ{i=0～m}*Σ{j=0～n}nCj*mCi*nCj*x^(i+j)
で分子の部分を、

(1+x)^(m+n)=Σ{m=0～m+n}(m+n)Cm*x^m
で分母の部分を作って、最後に割って証明しようとしたのです。

方針が立たないときに、この問題は超幾何分布だと聞いたので、そのまま質問してしまいました。
ネット等で調べて考えてみたのですが、
・・・
=Σ{i=0～m}*Σ{j=0～n}nCj*mCi*nCj*x^(i+j)
=ΣmCi*nCj*x^(i+j)
=Σ｛l=0～(n+m)}x^lΣ{i+j=l}mCi*nCjとなっており、
シグマ２つの処理の仕方が理解できなかったため
質問させていただいたわけです。

わかりにくくてすみません。
再度アドバイスいただけると助かります。