一様分布の推定量からの分布関数の求め方

質問

問.
n子の無作為標本は一様分布U(0,θ)からとられているとする。このとき、θの推定量とし最尤法による推定量θ_1 = max[i] X_iの平均事情誤差を求めよ

という問題があるのですが、それの解説の導入に
「分布関数を考えると
Pr(max[i] X_i <= x)
= Pr(X_1<= x,,,,,,,,X_n <= x)
={ Pr(X_1 <= x) } ^n
=(x/θ)^n」

とあるのですが、ここでいくつかわからない点があります。

(1).まずPrを使っている理由がわかりません。
基本的に分布関数を求める場合大文字のFを使って式を表すと思いますが、なぜここではPrなのでしょうか。

(2).Pr(max[i] X_i <= x) の表す意味がわかりません
「X_i (0 <= i <= n)の最大値がx以下の時の確率」という意味でしょうか

(3).1行目から2行目の式変形がわかりません

(4).2行目から3行目の式変形がわかりません。
恐らく(2)がわからないからだと思いますが、どうしてn乗になるのでしょうか。

(5).3行目から4行目の式変形がわかりません。
一様分布の分布関数なのでαxの形になるのは想像ができるのですが、n乗があるせいでよくわからなくなっています。

質問を書いてみるとこの部分に関しては全く理解できていないことがわかり愕然としています。
恐らく基礎が抜けているからだと思います。
詳しい解説や参考になりそうなリンクなどがございましたら教えていただけないでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.1

f272

(1)
例えば
https://ja.wikipedia.org/wiki/確率分布#.E5.88.86.E5.B8.83.E9.96.A2.E6.95.B0
でも
実数値確率変数 X の分布関数（ぶんぷかんすう, distribution function）あるいは、一次元確率分布 PX の分布関数とは
F_X(x)=P(X≦x)=P_X((-∞ ,x])
で与えられる関数 F_X のことである。
と言っています。ここでは分布関数F_Xを確率Pで表現しています。
これと同じことですよね。
(2)
「X_i (0 <= i <= n)の最大値がx以下の時の確率」という意味です。
(3)
max[i] X_i <= x
であるというのは
X_1<= xかつX_2<= x...X_n <= x
であるというのと同じことです。
(4)
n個の観測値が独立に同一の分布にしたがうのだから
X_1<= xかつX_2<= x...X_n <= x
である確率は
X_1<= x
である確率のn乗です。
(5)
X_1は一様分布U(0,θ)に従うのですから
X_1<= x
である確率は
x/θ
です。これが正しいことは，x=0のときは確率=0，x=θのときは確率=1であり，その途中では確率が1次式に従って単調に増加していることから，納得できるはずです。