指数分布の小さい方からｍ個の分布

質問

指数分布ｆ（ｘ）＝λｅ＾－λｘ　（ｘ＞＝０、λ＞０）にしたがうランダムなデータがｎ個あった場合、小さい方からｍ個の和はどのような分布になるのでしょうか。（ｎ＞＝ｍ）
ｎ＝ｍの場合中心極限定理で正規分布になると思いますが、その他の場合どのようになるのでしょうか。教えて下さい。

回答No.3

grothendieck · ベストアンサー

１．確率変数 x1, x2, …,xn の同時密度関数が　f(x1,x2,…,xn)で
　y1 = y1(x1, x2, …,xn)
　：
　：
　yn = yn(x1, x2, …,xn)

と変数変換するとy1, y2, …,ynの同時密度関数は
　f(x1(y1, …,yn),…,xn(y1,…,yn)) D(x1,…,xn)/D(y1,…,yn)

で与えられます。ここでD(x1,…,xn)/D(y1,…,yn)はヤコビアンです。
２．回答の内容はｎ＝３、ｍ＝２の場合です。
３．たとえばｎ=4,ｍ=3の場合、
確率変数x,y,z,u が0≦x<y<z<u となる状況を考え、
　a = x + y+z
　b = y - z
と変数変換してa,b,z,uの同時密度を求め、0≦x<y<z<u に相当する部分をb,z,uについて積分するとaの密度関数が求まります。「小さいほうの三つの和がaになる分布」はこれの 4! = 12 倍です。

回答No.4

grothendieck

下の回答で「 4! = 12 倍」は「 4! = 24 倍」に訂正します。

お礼

回答ありがとうございました。たいへん参考になりました。

回答No.2

grothendieck

ｎ＝ｍの場合はガンマ分布であり、ｎが無限大の極限が正規分布だと思います。
簡単のためλ=1 とします。三つの独立な確率変数x,y,z が指数分布に従い、0≦x<y<z となる状況を考えます。
　a = x + y
　b = x - y
と変数変換すると上記の条件は
　a ≧0 , -a ≦b ≦0 , z ＞(a-b)/2

と書けます。ヤコビアンがD(x,y)/D(a,b)= -1/2 なのでa,b,z の同時確率密度関数は
　f(a,b,z)= (1/2)exp(-(a+z))
aの密度関数を求めるには、これをzとｂで積分して
　f(a) = ∫[-a～0] db∫[(a-b)/2～∞] dz f(a,b,z)
= exp(-3a/2) - exp(-2a)

コンピュータでシミュレーションしてこれが正しいことを確認しました。ラムダを復活したければ
　f(a) = λ[exp(-3λa/2) - exp(-2λa)]
とすれば良いでしょう。「小さいほうの二つの和がaになる分布」はこれの 3! = 6 倍です。ｎやｍがもっと大きい場合も同様にできるでしょう。

補足

回答ありがとうございました。
確かに仰る通りｎが無限大の極値が正規分布です。中心極限定理の意味を間違って理解していました。
もし宜しければ次の３点について教えてください。
１．a,b,z の同時確率密度関数は　f(a,b,z)= (1/2)exp(-(a+z))
　　はどのようにして出てきた式でしょうか？
２．回答の内容はｎ＝３、ｍ＝２の場合と解釈して良いのでしょうか？
３．ｎやｍがもっと大きい場合への拡張はどのようにするのでしょう　　　か？
以上申し訳ありませんがお願いいたします。

回答No.1

stomachman

確率密度関数 f(x)に従うn個のサンプルをランダムに取った時、それらn個の中に「その値がXより小さいようなサンプルが丁度m個ある」という事象が生じる確率をPm(X)とすると、
Pm(X) = nCm ((∫f(x)dx [x=X～∞])^(n-m))((∫f(x)dx [x=0～X])^m)
じゃないかな。(nCm はcombination。[x=…]は定積分の積分範囲を示します。）

　で、「その値がXより小さいようなサンプルが丁度m個ある」場合に限定して考えると、これらm個のサンプルそれぞれについて、その値xは
g(x,X) =
　　　0≦x≦Xのとき…f(x)/(∫f(x)dx [x=0～X])
　　　それ以外のとき…0
という確率密度関数に従っているわけです。このことから、これらm個のサンプルの和sの分布w(s,X)が（g(x,X)＊g(x,X)＊…＊g(x,X)というm項の畳み込み積分になるから大変ですが）計算できるでしょう。　

　そして、X∈(0, ∞)について、w(s,X)をPm(X)の重み付きで積分したものが、ご質問の、「小さい方からm個の和」sの分布
Qm(s) = ∫Pm(X)w(s,X)dx [x=0～∞]
でしょう。

お礼

回答ありがとうございました。