二項分布に従う次の確率変数の変形（簡略化）

質問

確率変数x、y(=N-x)がパラメータ(N,p)の2項分布に従うとします。
x(i),y(i)をある試行iによって得られた結果とし、
x,yの頻度を
a(i)=x(i)/N
b(i)=y(i)/N　とおきます。

このときに、次の項
N(Σ(a(i)b(i))/Σb(i) - Σ(a(i)^2)/Σa(i))
を考えます。シグマの中身はすべて[i=1～∞]です。
なので例えばΣa(i)は2項分布の平均になります（間違ってたらすみません）

出典によると変形によって-1となるそうなのですが、
自分でいろいろ考えてみたのですが結局わかりませんでした。
証明方法を教えていただけないでしょうか。

回答No.1

noname#227064 · ベストアンサー

N(Σ(a(i)b(i))/Σb(i) - Σ(a(i)^2)/Σa(i))
= lim[n→∞] {N(Σ(a(i)b(i))/Σb(i) - Σ(a(i)^2)/Σa(i))} (i=1～n)
として、
b(i) = 1-a(i)
であることと、大数の法則から
lim[n→∞] a(i)/n = Np
lim[n→∞] a(i)^2/n = Np(1-p)+(Np)^2
となることを利用して変形していけば、与式が-1となることがわかります。

お礼

御礼遅れてすみません。
ありがとうございました。