分布収束について

質問

こんにちは。分布収束について質問させていただきます。

(1) 確率変数列X_nが確率変数Xに分布収束、X_nとは別の確率変数列Y_nが確率変数Xに分布収束するとき、

X_n+Y_nが2Xに分布収束

は成り立つでしょうか？

(2) X_i （iは1からnまで）を独立同分布で、平均0、分散vをもつとします。
また、S_n=X_1+X_2+...+X_nとします。したがって、中心極限定理より、S_n÷nはN(0,v)にしたがう確率変数Zに分布収束します。

このとき、

S_n/n+S_{n+1}/(n+1)+S_{n+2}/(n+2)がN(0,3v)に従う確率変数3Zに分布収束

（ただし、S_{n+1}=X_1+...+X_n+X_{n+1}とします）

は成り立つでしょうか？

よろしくお願い致します。

回答No.3

noname#227064 · ベストアンサー

ANo.2で参考URLを付け忘れました。
3Zに分布収束するのはスラツキーの定理から成立します。

参考URL：

http://en.wikipedia.org/wiki/Slutsky's_theorem

お礼

遅ればせながら、ご回答ありがとうございます！解決致しました。

回答No.2

noname#227064

S_n/√(n)+S_{n+1}/√(n+1)+S_{n+2}/√(n+2)
= S_n/√(n)+(S_n + X_{n+1})/√(n+1)+(S_n + X_{n+1}) + X_{n+2})/√(n+2)
= {1 + √(n)/√(n+1) + √(n)/√(n+2)} S_n/√(n) + {1/√(n+1) + 1/√(n+2)} X_{n+1} + X_{n+2})/√(n+2)
と変形すれば、n->∞のとき
{1 + √(n)/√(n+1) + √(n)/√(n+2)}
は3に収束、S_n/√(n)はZに分布収束、
{1/√(n+1) + 1/√(n+2)} X_{n+1} + X_{n+2})/√(n+2)
は0に確率収束するので、3Zに分布収束します。

お礼

S_{n+1}をS_nで表せばいいのですね。ありがとうございました。

回答No.1

noname#227064

(1)
成立しません。
Xn, Ynどちらも確率変数Xに分布収束するとあっても、別々の確率変数列であることに注意しましょう。
例えばXn, Ynがどちらも標準正規分布に分布収束する場合、その和はN(0,2)に分布収束しますが、2XはN(0,4)に従います。

(2)
こちらの方は式に間違いはないでしょうか？

> したがって、中心極限定理より、S_n÷nはN(0,v)にしたがう確率変数Zに分布収束します。

> S_n/n+S_{n+1}/(n+1)+S_{n+2}/(n+2)がN(0,3v)に従う確率変数3Zに分布収束

N(0,v)とN(0,3v)ではなくN(0,v/n), N(0, 9v/n)になると思うのですが……

補足

ご回答ありがとうございます。(2)の式については、間違っておりました。
ご指摘のとおり，N(0,v)とN(0,3v)ではなくN(0,v/n)とN(0, 9v/n)でした。

訂正を致します。なお、よりわかりやすくするために、以下のように(2)を書き換えます。

(2) X_i （iは1からnまで）を独立同分布で、平均0、分散vをもつとします。
また、S_n=X_1+X_2+...+X_nとします。したがって、中心極限定理より、S_n÷√(n)はN(0,v)にしたがう確率変数Zに分布収束します。

このとき、

S_n/√(n)+S_{n+1}/√(n+1)+S_{n+2}/√(n+2)がN(0,9v)に従う確率変数3Zに分布収束

（ただし、S_{n+1}=X_1+...+X_n+X_{n+1}とします）

は成り立つでしょうか？