幾何分布の期待値の中の計算の恒等式の意味

質問

幾何分布の期待値を求めようとしています。

まずは添付画像をご覧ください。

この中の恒等式
Σ[x] x・pq^(x-1) - qΣ[x] x・pq^(x-1) ≡ 1
の意味を教えてください。

第一項は期待値E(X)の定義そのものですよね？
これは私も理解出来ていて、
(x-1)回ずっと失敗していて最後のx回目に成功した、
ということですよね？

でも、この第二項は、前のqを後ろのqに合わせると
- qΣ[x] x・pq^(x-1)
= - Σ[x] x・pqq^(x-1)
= - Σ[x] x・pq^(x-1+1)
= - Σ[x] x・pq^(x)
になりますよね？

これではpもqも両方成功した回になってしまいませんか？

私が期待していたのは、
「(x-1)回ずっと失敗していて最後のx回目に成功した」ので、
最後のx回目は成功率100%、
それまでの(x-1)回は成功率0%、
それらの差で
100% - 0% = 100% (≡1)
になるのかな、と思っていました。
なので、もし「成功した一つ前の回（まで）」で引くのなら納得がいきます。

理解できずに混乱しています。
どうか教えて下さい。
お願いします。

回答No.3

上野 尚人（@uenotakato）

＞この第2項は、xを1だけずらして
「5回目にはじめて成功したときに(5-1=)4点を与える」…(2)
というルールのもとでの期待値、と言い換えることもできます。

ここを
「4回目に初めて成功したときに3点を与える」
と書き換えてください。

率直なところ、この計算式はかなりテクニカルな変形をしている上、説明が少ないのでわかりづらいと思います。解読できるまで手間がかかりました。

お礼

幾何分布の期待値の解法
Σ[x] x・pq^(x-1) - qΣ[x] x・pq^(x-1)
=p{Σ[x] x・q^(x-1) - qΣ[x] x・q^(x-1)}

中括弧{}の中を展開すると、
Σ[x] x・q^(x-1) = 1・q^0 + 2q^1 + 3q^2 + 4q^3 + …
と
qΣ[x] x・q^(x-1) = 1・q^1 + 2q^2 + 3q^3 + …
なので、1乗同士、2乗同士、3乗同士、を引いていくと、
Σ[x] x・q^(x-1) - qΣ[x] x・q^(x-1) = q^0 + q^1 + q^2 + q^3 + …
これは等比級数なので、
q^0 + q^1 + q^2 + q^3 + … = 1/(1-q)
よって、
p{1/(1-q)}
q = 1-pだったので戻してやると、
p{1/(1-(1-p))}
= p{1/(1-1+p)}
= p{1/p}
= p/p
= 1

※この1が知りたかったのです。

後は両辺を1-qで割ってやると、
答えは1/pになります。

今回は正直、ヒントにすらならず、
余計に時間が掛かってしまったように思います。
よって、ポイントは差し上げますが、
ベストアンサーは差し上げられません。
（もう一つの別の質問をしていたのですが、
　その方がヒントをくださいましたので、
　その方には更に3ポイント差し上げます。）
ありがとうございました。

補足

解けました。
多分、明日書きます。

回答No.2

上野 尚人（@uenotakato）

「点」は、「得点」という考えです。
付けていただいた具体例だと、X=4回目に初めて成功した場合はX=4点を得られる、と得点化してみます。
この場合の平均点（Xの値の平均値）が期待値となります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
しかし、まだ理解できていません。
No.1でのご回答を基に、具体的説明をお願いします。

私がNo.1でのご回答を埋めてみますと、
以下のようになります：

第1項は
「4回目にはじめて成功したときに4点を与える」…(1)
第2項は
「(4+1=)5回目にはじめて成功したときに4点を与える」
この第2項は、xを1だけずらして
「5回目にはじめて成功したときに(5-1=)4点を与える」…(2)
というルールのもとでの期待値、と言い換えることもできます。
よって、(1)のルールと(2)のルールではちょうど1点の差が生じる（×　ない）ため、件の等式はp=1/6の値にかかわらず成立します（×　しません）。
→この計算だと、4点 - 4点 = 0点になりませんか？

そして、そもそもですが、
なぜこんな計算をしているのでしょうか？

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato）

第1項は
「x回目にはじめて成功したときにx点を与える」…(1)
というルールのもとでの期待値、
第2項は
「(x+1)回目にはじめて成功したときにx点を与える」
というルールのもとでの期待値、と言い換えられます。この第2項は、xを1だけずらして
「x回目にはじめて成功したときに(x-1)点を与える」…(2)
というルールのもとでの期待値、と言い換えることもできます。
よって、(1)のルールと(2)のルールではちょうど1点の差が生じるため、件の等式はpの値にかかわらず成立します。
この説明ででいかがでしょうか。

お礼

ご回答ありがとうございます。
すみません、正直、理解できていません、
特に「点」という新たな概念が出てきましたが、
これが何を示しているのかが分かりません。

具体例で示せますでしょうか？
「サイコロで6が出るまで振る」とし、
結果は4, 2, 1, 6, 2でした（関数電卓の結果です）。
4回目で成功ですね。
それまでの(4-1=3)回は失敗です。
一応、5回目も付けておきました。
どうでしょうか？