加重平均

質問

n個の確率変数X1,X2,...,Xn がN(μ,1)に従うとき

X' = (1/n)Σ<1 n>Xi は nが十分大きいときに　正規分布　N(μ,1/n)に従うとみなしていいです（中心極限定理)

それでは
X' = Σ<1 n> w(i) * Xi ただし　Σw(i)=1 (w(i)は数列{w(n)}の第n項)
としたとき　X'は正規分布に従いますか？？
X'の平均はμ,分散Σ(w(i))^2 は分かったので
N(μ,Σ(w(i))^2)　かと思うのですが、確証がないので
アドバイスをいただけないでしょうか。

回答No.1

kumipapa · ベストアンサー

正規分布には再生性があります。
即ち、独立な確率変数列 Xi が N(μi,(σi)^2) に従うならば、その和である ΣXi は N(Σμi,Σ(σi)^2) に従います。このとき、和をとる確率変数の数は問題ではありません。２個でも正規分布です。
また、X が N(μ,σ^2) に従うなら、aX は N(aμ, (aσ)^2) に従います。
従って、Xi が N(μ,1) に従うとき、(1/n)Xi は N(μ/n, (1/n)^2) に従いますので、Σ(1/n)Xi は N((μ/n)×n, (1/n)^2×n)　即ち N(μ,1/n) に従います。中心極限定理は無関係でしょう。
同様に、
X' = Σ<1 n> w(i) * Xi ただし　Σw(i)=1 ならば X' は N(μ,Σ(w(i))^2)に従うのは明らかだと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
kumipapaさんのおかげで、X'がN(μ,Σ(w(i))^2)に従うことに納得ができました。
わかったことは
正規分布の再現性とX1,X2,...,Xnが独立なことより
X'= X' = Σ<1 n> w(i) * Xi は
N(w(0)*E(X1)+...+w(n)*E(Xn),(w(1))^2*V(X1)+...+(w(n))^2*V(Xn))
すなわち
N(μ,Σ(w(i))^2)
にしたがうということです。
間違っていたらご指摘していただければありがたいです。

また、中心極限定理を
どんな分布でも標本平均(1/n)ΣXiを十分な数とってくれば、その標本平均は正規分布に従う　と解釈していたのですが　
この解釈から　(正規分布の)標本平均をとってきたのだから　中心極限定理が理由なのだろうと考えていました。　どこにもｎが十分大きいと断りがないことなどから　私が間違っていました。　ご指摘ありがとうございます。

回答No.3

zk43

そうですね、Xiが正規分布に従うのならば、中心極限定理を持ち出すま
でもなく、正規分布の再生性から分かりますね。
より一般的には、XiがN(μi、σi^2)に従い独立なときは、aiを定数と
して、a1X1+…+anXnは平均a1μ1+…+anμn、分散(a1σ1)^2+…+(anσn)^2
の正規分布に従います。
この問題は、μ1=…=μn=μ、σ1=…=σn=1、a1+…+an=1の場合です。

お礼

回答ありがとうございます。
中心極限定理、正規分布の再生性とこの質問で　勉強になりました。
大変感謝しています。
回答していただいたお二方、私のために時間を割いていただいてありがとうございました。

回答No.2

zk43

中心極限定理というからには、X1,X2,…が正規分布に従わなくても、
どんな分布でも同一の分布に従うとき、その平均Σxi/nの分布がn→∞
のとき正規分布に収束するということです。
加重平均のときは、w(1)=1,w(2)=0,w(3)=0,…としたときは、X'の平均
は確かにμ、分散はΣ(w(i))^2ですが、分布としては正規分布にはなら
ないと思います。

お礼

回答ありがとうございました。

まず中心極限定理の点ですが、私が間違っていました。NO1の方へのお礼で「私が中心極限定理と書いた理由」を書きました。　とにかく間違えましたので、ご指摘感謝しています。

また、NO1の方の意見を参考に
正規分布の再現性、X1,...,Xnが独立であること　を用いて、
X'がN(μ,Σ(w(i))^2)　に従うことを納得しました。

もし間違いがあれば　ご指摘していただければとてもありがたいです。
回答ありがとうございました。

少し時間が経ってから　質問を締め切りたいと思います。