コーシー列の反例

質問

点列{x_(n)}が
∀ε>0 ∃n_(0)∈Ｎ　∀n∈Ｎ
n-1,n≧n_(0)⇒|x_(n-1)-x_(n)|<ε
を満たすが、コーシー列でない例をあげよ。

とのことですが、全然わかりません。
どのようにしたら良いのでしょうか。

回答No.3

uzumakipan · ベストアンサー

＃１です。大変失礼しました。質問は隣接２項間はεで抑えられるが、コーシー列にはならない例ですね。コーシー列にならない例だけを質問しているのかと勘違いしていました。

さて、改めて質問についてですが、調和級数の和の例は＃２さんがヒントを挙げているので、私は別の例を挙げたいと思います。

たとえば、x_(n)=log(n) を考えてみてはどうでしょうか？

隣接２項間は

|x_(n-1)-x_n|=|log(n-1)-log(n)|=|log(1-1/n)|

でn→∞にすると|log(1-1/n)|→０となりますから、任意のε＞０で抑えられます。しかし、log(n)→∞（n→∞）ですから、コーシー列とはなりません。

お礼

調和級数の和の例の他も考えいていたので
とても参考になりました！
ありがとうございます！！

回答No.4

ojisan7

>調和級数の和の例の他も考えいていたので・・・
調和級数の和も対数も、例としてはほとんど同じですね。
それ以外にもいくらでもあるんではないですか。たとえば、
x_(n)=√n
はどうですか。

お礼

おっしゃる通りです(汗)
それ以外にも調べたら色々ありました！
教えていただいたものもそうですね。

ありがとうございます！

回答No.2

kabaokaba

>ですから収束しない数列の例を挙げれば、それがコーシー列ではない例となります。

隣接項の差の絶対値がεでおさえられるという条件は？

ヒントだけ：
もし，そういう数列があったとしたら，
その数列は有界ではないと考えられる．
なぜなら，有界な数列には有限個の集積点が存在し，
その集積点に収束する部分列が存在する．
したがって，隣接する項の距離が常にεで抑えられるとは思えない．
したがって，有界ではなく収束もせず，
かつ隣接する項の距離が0に収束する列を考えればよい．
例えば，無限大に発散する「級数」で
どんどん小さくなる項を
足していくもので有名なのがある．

お礼

ヒントありがとうございます！！
その有名なもの、参考書にのっていて
見たのですが、論理式ばかりで書かれていていまいち理解できなかったのですが、
kabaokabaさんのヒントの説明で理解できました！
ありがとうございます。

回答No.1

uzumakipan

こんばんは。実数列において収束列であることとコーシー列であることは同値です。

ですから収束しない数列の例を挙げれば、それがコーシー列ではない例となります。