コーシー列の問題です。

質問

コーシー列の問題です。
P_0をR^2の一点とし、点列{P_n;n=0,1,2...}を
P_(n+1)=f(P_n),n=0,1,2...
ノルムに関して||f(P)-f(Q)||≦||P-Q||は成立している。
このとき、この点列P_nはコーシー列であることを示したいのですが、

コーシー列を示すには、n,m→∞にして示すのは分かっているのですが、
この問題に関しては、
||f(P_m)-f(P_n)||≦\\\≦||f(P_(m-n))-f(P_0)||なので、
n,m→0にして示すのですか？
もしそうなら このときのコーシー列の定義式は何ですか？

また実数の距離空間が完備のは、連続かつ有界という理由からですか？

よろしくお願いします。

回答No.4

fef · ベストアンサー

不等式の右辺に 2c がついていれば，Tacosanのあげられた函数は条件を満たしませんよね．
つまり，2c がついていないから反例が出てきてしまったんです．

もう少し詳しく述べます．
m >= n とすると，三角不等式から
　　||P_m - P_n||
　　= ||(P_m - P_(m-1)) + (P_(m-1) - P_(m-2)) + ... + (P_(n+1) - P_n)||
　　<= ||P_m - P_(m-1)|| + ||P_(m-1) - P_(m-2)|| + ... + ||P_(n+1) - P_n||
が成り立ちますね．
ここで(2)の結果を用いて，
　　||P_m - P_(m-1)|| + ||P_(m-1) - P_(m-2)|| + ... + ||P_(n+1) - P_n||
　　<= (2c)^(m-1) ||P_1 - P_0|| + (2c)^(m-2) ||P_1 - P_0|| + ... + (2c)^n ||P_1 - P_0||
　　= (2c)^n (1 + 2c + (2c)^2 + ... + (2c)^(m-n-1)) ||P_1 - P_0||
　　= (2c)^n (1 - (2c)^(m-n))/(1 - 2c) ||P_1 - P_0||
　　<= (2c)^n ||P_1 - P_0||/(1 - 2c).
最後の式は，||P_1 - P_0||/(1 - 2c) が定数なので，n を十分大きくとれば任意の正実数より小さくできます．
なぜなら，2c は 1 より小さい定数ですからね．

お礼

理解できました。
ありがとうございました。

回答No.3

fef

質問番号6260397の質問の方ですね．
その際の回答で述べたように，(3)では(2)の結果を用います．

(2)の結果は，c を c < 1/2 なる正定数として，
　　||f(P) - f(Q)|| <= 2 c ||P - Q||
だったはずです．
この不等式の右辺に 1 より小さい正定数 2 c がついていることは重要ですよ．

補足

その重要性が分かりません…

回答No.2

Tacosan

#1 で与えた関数 f((x, y)) = (x+1, y) は ||f(P)-f(Q)||≦||P-Q|| を満たし, したがって点列
P_0 = (0, 0)
P_(n+1) = f(P_n)
はこの問題の条件を満たします.
ところが P_n = (n, 0) だからどう見ても収束しない, はず.
問題は本当にこれだけ?

お礼

解決しました。
ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

「このときのコーシー列の定義式は何ですか」という質問の意味はさっぱり分からんが (というか, そもそも「コーシー列」を理解できているんだろうか?), このように与えられる点列がコーシー列とは限らんような気がする.
f((x, y)) = (x+1, y) は ||f(P)-f(Q)||≦||P-Q|| を満たすのでは?

補足

そうですね。すみません。言葉使いがおかしかったです。

コーシー列にならないんですか？

この問題はP_nが収束点列になることを示す問題なのですが、
実数の距離空間は完備なので、コーシー列は収束するという条件が使え、P_nがコーシー列であることを示せという問題に書き換えられるというアドバイスを受けたのですが…