コーシー列

質問

{a_n},{b_n}がコーシー列であるとき{a_n±b_n},{a_n*b_n}もまたコーシー列であることを示せ。
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仮定より任意のε＞０に対して、自然数Nが存在して、n,m≧N_1ならば｜a_n-a_m|＜εである。また任意のε＞０に対して、自然数N_2が存在して、s,t≧N_2ならば｜b_s-b_t|＜εである。このさきの助言が欲しいです・・・・・

回答No.2

kabaokaba

>{a_n±b_n},{a_n*b_n}もまたコーシー列であることはどうやって示すのでしょうか？

定義にしたがって，引き算して式変形するだけです
絶対値の三角不等式を使うのがポイント
例：
|(an-bn)-(am-bm)| = |(an-am)-(bn-bm)|
<= |(an-am)| + |(bn-bm)|

回答No.1

kabaokaba

N_1とN_2のうち小さくない方をNとおけば
n,m>=Nであるならば
｜a_n-a_m|＜ε
｜b_n-b_m|＜ε
である．

こんなところです．

お礼

ありがとうございます。{a_n±b_n},{a_n*b_n}もまたコーシー列であることはどうやって示すのでしょうか？