コーシー列の定理についての証明

質問

お世話になります。

同値の定義を『2つのコーシー列｛an},{bn}について与えられたrに対して、|am - bn| <1/r　m.n>NになるようなNが存在する時、｛an},{bn}は同値でありA二重波線Bと表すことが出来る。』とする時、

定理；Sが有理数のコーシー列で、しかもSが数列{(n,0)}と同値ではない時

１,0よりも大きい正の整数rが存在し、すべてのｎについて 、SはTと同値で、tn>= 1/r もしくはtn<= -1/rを満たす、有理数のコーシー列　T={(n,tn)}が存在する。
2,上のtnについて、{(n,1/tn)}はコーシー列である。

1を証明しようとしたのですが、SがTと同値になるのは分かるのですが、どうやって、tn>= 1/r もしくはtn<= -1/rであることを証明すればいいのか分かりません。
2に関しては数列{(n,1/n)}が0に収束するを使いたかったのですが、どうやって書けば良いのか分かりません。

なるべくわかりやすく教えてください。宜しくお願いします。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

たぶん，何も分かってないと思う・・・
論理の展開がおかしくなってませんか？
＃本当は「同値の定義」の言葉の使い方がおかしいのと
＃問題文の表現が曖昧・・ほんとうに「一字一句」
＃オリジナルと同じなんだろうか？という疑問もあります

とりあえず「分かった」というところまでを
きちんと書くべきでしょう．
「わかりやすく」なんてことはそれからの話です．

>SがTと同値になるのは分かるのですが、

どうしてです？
(1)数列 T を構築して
(2)Tが条件を満たすことを示し，
(3)Tがコーシー列であることを示す
というのが 1 の問題です
2 の問題は 1 で示した条件を用いて
1/tn がコーシー列であることを示す
ということです．

したがって，
「SとTが同値」ということが「分かった」のであれば
Tは構築できているはずで，
そうなれば tn>=1/r または tn<=-1/rは
すでに示されていることになります．

ヒントだけ．
>Sが有理数のコーシー列で、しかもSが数列{(n,0)}と同値ではない時
「Sが数列{(n,0)}と同値ではない」ということを
きちんと「εδ」の形式で書いてください．
これが書けないと何もできません．
これができれば実は証明は自明です．

2の問題は |tn|<=1/r であることと {tn}がコーシー列であることから
簡単に示せます．
>数列{(n,1/n)}が0に収束するを使いたかったのですが
どこから 1/n がでてきたのでしょうか？
もっと「コーシー列の定義」をしっかり理解して
それを使いましょう．
| 1/tn - 1/tm | を不等式で評価するだけです．

お礼

病気になってしまいパソコンがいじれず、返事が遅くなってしまってすいませんでした。また体力に余裕がある時に戻って考えたいと思います。どうもありがとうございました。

回答No.1

koko_u_

とりあえず、自分で出来たところまでを補足欄にどうぞ。